42、图分割与稀疏割问题的近似算法及Cheeger不等式扩展

图分割与稀疏割问题的近似算法及Cheeger不等式扩展

在图论和算法研究领域，图的分割和稀疏割问题一直是重要的研究方向。本文将介绍最小最大树覆盖问题的改进近似算法，以及Cheeger不等式在更高特征值和图分割问题上的算法扩展。

最小最大树覆盖问题的近似算法

最小最大树覆盖问题旨在找到一种树覆盖方式，使得最大树的权重尽可能小。这里我们介绍两种不同的近似算法。

3 - 近似算法

在解决最小最大树覆盖问题时，我们可以通过二分查找来找到合适的参数 $\lambda$。具体步骤如下：
1. 设 $opt$ 为最优解的最大树权重，显然 $opt$ 最大为 $\sum_{e \in E} w(e)$。
2. 根据定理 3，如果 $\lambda \geq opt$，算法 1 能找到一个 $k$ - 树覆盖，其最大树权重至多为 $3\lambda$；若 $\lambda < opt$，算法可能失败，也可能找到最大权重至多为 $3\lambda$ 的 $k$ - 树覆盖，这也是一个 3 - 近似解。
3. 通过在区间 $[0, \sum_{e \in E} w(e)]$ 上进行二分查找，找到一个 $\lambda$，使得算法能给出最大权重为 $3\lambda$ 的 $k$ - 树覆盖，而对于 $\lambda - 1$ 算法失败。此时，我们就得到了一个 3 - 近似因子。

2.5 - 近似算法（BTC 算法）

对于 BTC 问题，给定图 $G$ 和权重界限 $\lambda$，我们使用以下步骤来找到一个 $k’$ - 树覆盖，其中 $k’ \leq 2.5opt$ 且最大树成本为 $\lamb