33、求解 GF[2]ⁿ 上的 d 次方程

求解 GF[2]ⁿ 上的 d 次方程

1. 引言

多项式方程的研究是数学中的一个基本问题。这里我们研究一个名为 Max - d - Eq 的问题，即给定一组在 GF[2] 上的 n 个变量的 m 个 d 次多项式方程，目标是满足尽可能多的方程。由于 d 为常数，所有多项式采用密集表示。很多问题都可以编码为多项式方程，例如 3 - Sat 问题可以轻松编码为 3 次方程，因此确定是否能同时满足所有方程是一个 NP 完全问题。所以，研究满足最大数量方程的问题很自然，我们的兴趣转向了近似算法。

一个算法若总是返回一个至少满足 C · OPT 个方程的解（其中 OPT 是最优解满足的方程数量），则称该算法为 C - 近似算法。PCP 定理表明，以小于 1 的常数 C 来近似 Max - d - Eq 是 NP 难的。对于线性方程（d = 1），最优近似常数是 1/2，通过随机赋值可以达到这个近似比，并且对于任意 ϵ > 0，以 1/2 + ϵ 的比例近似答案是 NP 难的。这些结果可以直接推广到高次情况，d 次方程的最优常数为 2⁻ᵈ。

当所有方程都能同时满足时，情况变得更有趣。对于线性方程，通过高斯消元法可以高效地找到满足所有方程的解。但对于高次方程，任何隐含的仿射条件可以用来消去一个变量，但这似乎是能达到的极限。从 Kasami 和 Tokura 对 Reed - Muller 码的低重量码字的特征描述可知，任何满足比例低于 2¹⁻ᵈ - 2¹⁻²ᵈ 的方程必定隐含一个仿射条件，这个数是可满足的 d 次方程系统实例的近似阈值。

2. 预备知识

我们关注 GF[2] 上的多项式，多数使用的多项式次数为 d，一次多项式（仿射形式）也有特殊