25、树 t - 支撑树问题与格向量近似问题的算法研究

树 t - 支撑树问题与格向量近似问题的算法研究

1. 树 t - 支撑树问题相关结论

在图论中，树 t - 支撑树问题有着重要的研究价值。对于一些特定类型的图，我们有以下相关结论：
- 推论 2 ：对于任意一个具有 n 个顶点、m 条边且树长 $tl(G) \leq \lambda$ 的连通图 G，能够在 $O(nm \log_2 n)$ 时间内从头构造出一个树 $(2\lambda \lfloor \log_2 n \rfloor)$ - 支撑树。
- k - 弦图相关 ：弦图有一个自然的推广，即 k - 弦图。如果一个图 G 的最大诱导环长度至多为 k，则称该图为 k - 弦图，而弦图恰好就是 3 - 弦图。研究表明，每个 k - 弦图的树长至多为 $k/2$。由此可得推论 3：任意一个具有 n 个顶点、m 条边的 k - 弦图 G，能够在 $O(nm \log_2 n)$ 时间内从头构造出一个树 $(2\lfloor k/2 \rfloor \lfloor \log_2 n \rfloor)$ - 支撑树。

对于一般图的树 t - 支撑树问题，我们可以得到一个近似算法。具体来说，每个允许有树 t - 支撑树的图 G 的树宽至多为 $\lceil t/2 \rceil$。结合相关定理，我们有以下重要结论：
- 定理 4 ：存在一个算法，对于任意一个具有 n 个顶点、m 条边且允许有树 t - 支撑树的连通图 G，能够在 $O(nm \log_2 n)$ 时间内构造出一个树 $(2\lceil t/2 \rceil \lfloor \log_2 n \rfloo