19、矩形着色与最大独立集问题的研究

矩形着色与最大独立集问题的研究

一、引言

在计算几何领域，矩形着色问题（RCOL）和矩形最大独立集问题（MISR）是两个重要的几何优化问题。

（一）矩形着色问题（RCOL）

给定平面上的 $n$ 个矩形集合 $R$，目标是为这些矩形找到一种有效的着色方案，使得任意两个重叠的矩形颜色不同，同时使用的颜色数量最少。这个问题可以看作是图着色问题的一个特殊情况。我们定义图 $G=(V, E)$，其中顶点集 $V$ 对应矩形，若两个顶点对应的矩形重叠，则它们之间有一条边。用 $\omega(R)$ 表示集合 $R$ 的最大团大小，$\chi(R)$ 表示其色数。通常，我们用 $q$ 表示 $\omega(R)$，由于 $\chi(R) \geq \omega(R)$，所以研究 $\chi(R) / \omega(R)$ 的比值 $\sigma(R)$ 是很有意义的。我们关注的是将 $\sigma_{rect,q}$ 作为一个仅依赖于 $q$ 而不依赖于输入规模的函数进行界定。

（二）矩形最大独立集问题（MISR）

输入是平面上的矩形集合 $R$，每个矩形 $R \in R$ 都关联一个非负权重 $w_R$，目标是找到一个最大权重的不重叠矩形子集。MISR 是计算几何中的基本问题之一，在数据挖掘、地图标注、信道准入控制和定价等计算机科学的多个领域都有应用。

（三）研究进展与本文贡献

过去对于矩形交集图的 $\sigma_{rect,q}$ 研究进展有限。1960 年，Asplund 和 Grünbaum 证明了任何团大小为 $q$ 的矩形集合 $R$ 最多可以用 $O(q^2)$ 种颜色着色，即 $\