16、原对偶模式与拉格朗日松弛在选址路由问题中的应用

原对偶模式与拉格朗日松弛在选址路由问题中的应用

在优化领域，有许多经典的问题，如无容量限制的设施选址问题和 k - 中位数问题。在解决这些问题时，我们需要选择要开放的仓库，并将每个需求点连接到一个开放的仓库。接下来，我们将深入探讨这些问题以及相关算法。

1. 问题背景与关联

• 无容量限制设施选址与 k - 中位数问题 ：这两个问题都涉及仓库的开放和需求点的连接。不同的是，无容量限制设施选址问题有特定的仓库开放成本，而 k - 中位数问题则限制最多开放 k 个仓库。Jain 和 Vazirani 发现了这两个问题在近似算法设计上的基本联系。他们先为无容量限制设施选址问题设计了具有更强性能保证（拉格朗日保持）的算法，再以此为基础设计 k - 中位数问题的近似算法。不过，他们的原对偶算法存在一个问题，可能找不到合适的统一开放成本 λ 使得恰好开放 k 个仓库，这导致他们的无容量限制设施选址问题的 3 - 近似算法在 k - 中位数问题上退化为 6 - 近似算法。
• Goemans 和 Williamson 的算法 ：他们给出了一般选址路由问题的 2 - 近似算法，但该算法不具备拉格朗日保持性质。我们对他们的原对偶算法进行修改，得到了具有拉格朗日保持性质的 2 - 近似算法。这样一来，我们就可以利用 Jain 和 Vazirani 的框架，为 k - 选址路由问题设计近似算法。而且，我们的原对偶算法总能找到一个共同的开放成本 λ 使得恰好开放 k 个仓库，避免了性能保证的损失。此外，我们只需执行一次原对偶算法就能计算出精确的 λ 值，而 Jain 和 Vazirani 则需要进行二分搜索。