14、无货币单边匹配市场中的社会福利分析

无货币单边匹配市场中的社会福利分析

1. 引言

在单边匹配市场问题中，目标是将 $n$ 个物品高效地分配给 $n$ 个有单位需求的代理，每个代理对这些物品有完整且私密的偏好列表。该问题在诸多应用场景中出现，如为学生分配宿舍、为共用机器的用户分配时间槽、器官分配市场等。

由于偏好是私密的，我们关注的是真实（策略证明）机制，即代理没有动机歪曲其偏好。其中一类机制涉及代理之间的货币补偿/支付，但在很多情况下，由于法律限制或实际不便等原因，货币转移可能不可行，因此我们聚焦于无货币的真实机制。

一种简单的单边匹配机制是串行独裁机制，即代理按照固定顺序依次选取他们最偏好的未分配物品。随机串行独裁（RSD）机制则是从所有排列中均匀随机选取顺序。RSD 机制不仅简单易实现，还具有诸多吸引人的特性，如真实性、公平性、匿名/中立性、非专断性，并能返回帕累托最优分配。实际上，它是唯一具有上述特性的真实机制。

然而，一个重要问题尚未得到解决：该机制的效率如何？具体而言，与最优社会福利相比，该算法获得的社会福利能有怎样的保证？

通常衡量机制社会福利的方法是假设存在代理对物品的基数效用 $u_{ij}$，若一个机制的福利因子为 $\alpha$，则对于每个实例，该机制返回的匹配效用至少是最优效用匹配的 $\alpha$ 倍。但这种方法存在两个问题：一是如果效用可以是任意的，那么关于 RSD 的性能就无法得出有意义的结论；二是基数效用的假设将算法的性能与“基数”紧密联系，而这些基数的存在本身只是一种假设。因此，我们需要一种基于序数尺度的机制质量分析方法，即仅依赖代理的顺序/偏好列表，而非精确的效用值。

为此，我们提出了机制的序数社会福利这一衡量标准。