7、带容量集覆盖问题研究

带容量集覆盖问题研究

1. 问题基础与相关定理

带容量集覆盖问题（Capacitated Set Cover Problem，CSC）是一个重要的组合优化问题。Chakrabarty 等人给出了如下定理：
- 定理 1 ：设 CSC(A, d, s, c) 是一个带容量集覆盖问题实例，MSC(A, d′, 1, c) 表示具有关联矩阵 A 和覆盖需求 d′ 的无容量多覆盖问题，PSC(A, π, c) 表示具有关联矩阵 A 和优先级 π 的优先级覆盖问题。若 MSC(A, d′, 1, c) 的自然线性规划（LP）松弛的整性间隙对于所有可能的覆盖需求 d′ 至多为 α，且优先级问题 PSC(A, π, c) 的整性间隙对于所有优先级函数 π 至多为 β，则通过 KC 不等式加强的带容量问题 CSC(A, d, s, c) 的 LP 松弛的整性间隙为 O(α + β)。此外，实例 PSC(A, π, c) 中不同优先级的数量至多为 log smax，其中 smax = maxi∈[m] si 表示集合的最大供应量。

这里，若对于每个可行的分数解 x，都存在一个可行的整数解 ˜x，其成本至多为分数解成本的 α 倍，则称该问题的整性间隙为 α。在优先级覆盖问题中，只有优先级的相对值有意义，所以可假设优先级总是整数 1, …, k。

根据定理 1，只需界定基础集覆盖问题的多覆盖版本和优先级覆盖版本的整性间隙。通常，多覆盖版本并不比集覆盖问题本身难很多，而分析优先级问题才是难点。同时，定理 1 的逆命题也成立，即带容量问题至少和优先级问题一样难。

2. 研究成果

• 定义