4、纳什均衡NP完全变体的不可近似性解读

纳什均衡NP完全变体的不可近似性解读

1. 背景与基础概念

在博弈论中，双矩阵博弈是一种重要的模型。双矩阵博弈 $G = (M_{row}, M_{col})$ 由两个有限矩阵 $M_{row}$ 和 $M_{col}$ 以及两个玩家（行玩家和列玩家）定义。这里假设游戏是归一化的，即两个矩阵的值都在区间 $[0, 1]$ 内。行玩家和列玩家分别选择策略 $x$ 和 $y$，其中 $x$ 和 $y$ 是非负向量，且满足 $\sum_{i} x_{i} = \sum_{j} y_{j} = 1$。纯策略的支撑集大小为 1，即只有一个元素为 1，其余为 0 的向量。

行玩家的收益为 $x^{T}M_{row}y$，列玩家的收益为 $x^{T}M_{col}y$。纳什均衡是指一对策略 $(x, y)$，在假设另一个玩家不改变策略的情况下，任何一个玩家都没有动机改变自己的策略。形式上，对于所有的 $i$ 和 $j$，有 $e_{i}^{T}M_{row}y \leq x^{T}M_{row}y$ 和 $x^{T}M_{col}e_{j} \leq x^{T}M_{col}y$。而 $\varepsilon$-近似纳什均衡（简称 $\varepsilon$-均衡）是指一对策略 $x$ 和 $y$，每个玩家偏离当前策略的动机最多为 $\varepsilon$，即对于所有的 $i$ 和 $j$，有 $e_{i}^{T}M_{row}y \leq x^{T}M_{row}y + \varepsilon$ 和 $x^{T}M_{col}e_{j} \leq x^{T}M_{col}y + \varepsilon$。

一对策略的值 $v_{G}(x, y)$ 定义为两个玩家的平均收益，即 $v_{G}