2、图着色的新工具

图着色的新工具

1. 图着色算法概述

对于顶点传递图，存在一种随机算法，能在 $n^{O(D)}$ 时间内找到使用 $O(\log n)$ 种颜色的着色方案。一些现有的图着色算法的“反例”，对于高阶拉塞雷提升（Lasserre liftings）来说是容易处理的，因为它们的阈值秩较低。

当尝试将类似想法应用于一般图时，问题情况（如果存在的话）可能是不同的邻域看起来“不同”，这与半定规划（SDP）松弛的通常直觉相悖，通常情况下，高整性间隙（integrality gap）的原因是所有邻域看起来相同，SDP 无法给出有意义的线索。

为了量化所有邻域“看起来相同”的概念，我们关注一种特定的对称图——距离传递图，尤其是直径较小的这类图。因为使用简单的组合论证可以表明，为了用 $n^{\epsilon}$ 种颜色对图进行着色，只需要关注直径为 $O(1/\epsilon)$ 的图。对于一个 3 - 可着色的距离传递图，若其直径为 $\Delta$，我们可以在 $O(n2^{O(\Delta)})$ 时间内找到 $O(\log n)$ 种颜色的着色方案。

2. SDP 和拉塞雷层级

标准的图 3 - 着色的 SDP 松弛使用向量色数，但它不适合拉塞雷提升。因此，我们从一个基于 0/1 变量的等价松弛开始。对于图 $G = (V, E)$ 的每个顶点 $p$，有三个变量 $x_{p,R}, x_{p,Y}, x_{p,B}$，其中 $x_{p,C} = 1$（$C \in {R, Y, B}$）表示顶点 $p$ 被着色为颜色 $C$，且三个变量中恰好有一个为 1。整数规划确保 $x_{p,R} + x_{p,B} + x_{p,Y} = 1$，并且如