3、归位与同步序列的复杂性及相关问题研究

归位与同步序列的复杂性及相关问题研究

1. 引言

在自动机理论中，归位序列和同步序列是重要的概念。归位序列能帮助我们根据输出确定自动机的最终状态，而同步序列则能将自动机从任意初始状态引导到同一个最终状态。在实际应用中，这些序列的长度和计算复杂度是关键问题。例如，在某些应用里，状态空间可能非常大，如 {0, 1}k ，这就需要更实用的算法来寻找归位和同步序列。

2. 计算最短归位和同步序列的复杂性

在实际应用中，我们通常希望归位或同步序列尽可能短。虽然对于最小化的机器，我们能找到长度至多为 n(n - 1)/2 的归位序列，对于一般机器也能找到长度为 O(n3) 的同步或归位序列，且这些算法的运行时间是多项式的，但计算最小长度的归位和同步序列的算法却是指数级的。

为了说明这一指数级运行时间的原因，我们来看相关问题的复杂性。由于只有决策问题才能是 NP 完全的，所以我们考虑问题的决策版本：是否存在长度至多为 k 的序列？

有如下定理：给定一个 Mealy 机 M 和一个正整数 k，以下问题是 NP 完全的：
1. M 是否有长度 ≤ k 的归位序列？
2. M 是否有长度 ≤ k 的同步序列？

证明过程如下：
- 属于 NP 的证明 ：一个非确定性算法可以轻松猜测一个长度 ≤ k 的序列（k 是机器规模的多项式），并在多项式时间内验证它是否是归位或同步序列。
- NP 难的证明 ：我们从 NP 完全问题 3SAT 进行归约。在 3SAT 中，给定一个关于 n 个变量 v1, …, vn 的布尔公式 ϕ，它是