HDOJ 4542 小明系列故事——未知剩余系（反素数）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4542

题意：当type = 0， 求约数有k个的最小整数，当type = 1, 求非约数有k个的最小整数。

首先考虑type = 0 的情况

反素数的定义：对于任何正整数，其约数个数记为，例如，如果某个正整数满足：对任意的正整

            数，都有，那么称为反素数。

 

从反素数的定义中可以看出两个性质：

 

（1）一个反素数的所有质因子必然是从2开始的连续若干个质数，因为反素数是保证约数个数为的这个数尽量小

（2）同样的道理，如果，那么必有

反素数为什么是保证约数个数为x的这个数n尽量小？如果有n1>……>n2，f(n1)=……=f(n2)=k,那么根据定义，n2才可能是反素数。（可能不是的原因是f(i)>f(n))

如果反素数的质因子不是连续的，那么必然有一种约数个数为x的连续情况（可以看成是指数不变，底数全部向前挪），所得的n一定比当前的小，违反了保证约数个数为x的这个数n尽量小。

如果不是t1>=t2>=t3……这样的不上升序列，那么约数个数为x的这个数n还不是最小的，同样也违反了。

约数个数为x的最小数n，一定满足（1）（2），但反之也不一定成立。

所以反素数一定满足（1）（2），但反之不一定成立。

题目中type = 0的情况，是求一个最小的数使它的约数个数为k，那么就是在满足（1）（2）的数中找最小的。可以用dfs。

type = 1时 ip[i]本来是表示i的非约数个数 后来改成了非约数个数为i的最小数为ip[i]

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL __int64
#define N 50005
using namespace std;
const int p[16] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};
const LL INF = (((LL)1)<<62)+1;
LL ans;
int ip[N], k;
void Init()
{
    for(int i=1;i<N;i++) ip[i] = i;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        for(int j=i;j<N;j+=i) ip[j]--;
        if(!ip[ip[i]]) ip[ip[i]] = i;
        ip[i] = 0;                                                                                                                   }                                                                                                                             }
void dfs(LL dept, LL limit, LL tmp, LL num) //当前处理第dept个质因子，limit是根据规律在限制指数，tmp是当前已累乘的数，num是当前已经产生了多少个约数 约数个数是同一个质因子出现个数+1累乘
{
    if (num == k && tmp < ans) ans = tmp;
    for (int i = 1; i <= limit; i++)
    {
        if (ans / double(p[dept]) <= tmp || num * (i+1) > k) break; // 不能写成 ans < tmp*p[dept] 会爆LL
        tmp *= p[dept];
        if (k % (num * (i+1)) == 0)
            dfs(dept+1, i, tmp, num * (i+1));
    }
}
int main()
{
    Init();
    LL tt = 1, n;
    scanf("%I64d", &n);
    while (n--)
    {
        LL T;
        scanf("%I64d%I64d", &T, &k);
        if (T == 1) ans = ip[k];
        else
        {
            ans = INF;
            dfs(0, 62, 1, 1);
        }
        printf("Case %I64d: ",tt++);
        if (ans == 0)
            printf("Illegal\n");
        else if (ans >= INF)
            printf("INF\n");
        else printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}