HDOJ 3949 XOR （高斯消元 + XOR线性基）

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该博客探讨了如何利用高斯消元法和XOR线性基解决HDOJ 3949题目中的异或问题。首先将数的二进制表示排列并转换为行最简形式，找到极大无关组。然后通过特定算法处理数组，消除零行，并处理特殊情况。最后，根据二进制拆分计算第k大的异或结果。

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题意：给出n个数，任选大于等于1个数进行异或，得到的结果加入一个集合，问这个集合中第k大的数是多少？

异或类比加减，把n个数的二进制从上到下排成一个矩阵，化成行最简式（每一行的第一个1所在的列上只有这一个1）。那么非零的行所对应的数，是原来那n个数的极大无关组。极大无关组的定义是：线性无关和原来的数都可以由极大无关组中的数来表示。行最简式显然线性无关，并且原来这么得到行最简式的现在就可以怎么回去，一定是可以表示出原来那些数的。化成行最简式的伪代码如下：

for i = 所有数

{

p = i中1所在的最高位

for j = 所有数

if i != j && j中1所在的最高位也为p

a[j] = a[j] ^ a[i];

}

其中内层a[j]改了，外层循环时也会改变。

为了便于把都是0的行给去掉，一开始我们不要把数拆分成二进制，而是预处理一个数组，数组的第k个数表示2^k次方。倒着循环，如果i大于等于的第一个 ak，那么最高位就在第k个位置。是不是在p，用&，根据与运算的特点考虑。如果不用&，就会TLE。

把a从大到小排序，去掉0后，如果还有num个数，num<n，表示原来的数可以异或得到0，因为有重复的。这里需要特判。所以第k大的数相对来说就是第k-1大的数了。

把k拆分成二进制，把是1的位对应的a累积异或。这个是找规律的，为了不越异或越小，所以之前化成行最简式，把最高位的1都错开。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 10005
typedef unsigned long long  LL;
using namespace std;
int T, n, q, k, cnt, tmp, t, num;
LL  sum, s;
LL a[N], p[N];
void Gauss()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 63; j >= 0; j--)
            if (a[i]&p[j])
            {
                tmp = j;
                break;
            }
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (j != i)
            {
                if (a[j] & p[tmp]) a[j] = a[j] ^ a[i];
            }
    }
    sort(a+1, a+n+1);
    t = 1;
    while (a[t] == 0 && t <= n) t++;
    num = n-t+1;
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    p[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 63; i++) p[i] = 2 * p[i-1];
    int w = 0;
    while (T--)
    {
        w++;
        printf("Case #%d:\n", w);
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%llu", &a[i]);
        Gauss();
        scanf("%d", &q);
        for (int i = 1; i <= q; i++)
        {
            scanf("%d", &k);
            if (num < n) k--;
            if (k > p[num]-1 )
            {
                printf("-1\n");
                continue;
            }
            cnt = 0;
            sum = 0;
            while (k > 0)
            {
                cnt++;
                if (k & 1) sum = sum ^ a[cnt+t-1];
                k = k / 2;
            }
            printf("%llu\n", sum);
        }
    }
    return 0;
}