2019牛客暑期多校训练营（第一场）E ABBA (动态规划)

最新推荐文章于 2024-08-14 23:53:53 发布

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本文介绍了一种使用动态规划(DP)解决特定序列组合问题的方法，对于由AAA和BBB组成的序列，如何根据给定的nnn和mmm，计算出合法序列的数量。通过枚举和贪心策略，实现了有效的问题解决。

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/E
题意：对于一个长度为 $2 (n + m)$ 的仅由 $A$ 和 $B$ 组成的序列，能将其分成 $(n + m)$ 个长度为 $2$ 的子序列，其中 $n$ 个是" $A B$ "， $m$ 个是" $B A$ "。求对于给定的 $n$ 和 $m$ ，有多少种合法的序列。

DP，令 $f [i] [j]$ 表示该序列前缀 $i + j$ 长度有 $i$ 个 $A$ 和 $j$ 个 $B$ 的方案数，因为AB的数量 $n$ 和BA的数量 $m$ 是固定的，同时A和B的数量也是固定的（都是 $n + m$ 个），所以可以知道前缀 $i + j$ 中A和B的数量也就可以求得后缀 $2 (n + m) - (i + j)$ 中A和B的数量，而每次需要A时，贪心地先用AB的，AB的用完了再用前面出现过B的BA，需要B时同理。
每次枚举下一个位置是A和B（转移到 $f [i + 1] [j]$ 和 $f [i] [j + 1]$ ），通过剩余AB和BA的数量判断是否可以转移。
要注意因为是多组数据， $f$ 数组又比较大，对于每组数据不能直接用memset清空，否则会超时。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int n,m;
long long f[2010][2010];
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<=n+m;i++)
            for(int j=0;j<=n+m;j++)
                f[i][j]=0;
        f[0][0]=1;
        for(int i=0;i<=n+m;i++)
        {
            for(int j=0;j<=n+m;j++)
            {
                if(n-i+j>0)
                    f[i+1][j]=(f[i+1][j]+f[i][j])%MOD;
                if(m-j+i>0)
                    f[i][j+1]=(f[i][j+1]+f[i][j])%MOD;
            }
        }
        printf("%lld\n",f[n+m][n+m]);
    }
    return 0;
}