Codeforces Round #538 C. Trailing Loves (or L'oeufs?)（求 n！转化为 b 进制下末尾有多少个 0.）

最新推荐文章于 2020-12-07 17:11:37 发布

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本文深入解析Codeforces竞赛中一道关于数论的经典题目，详细阐述如何通过素因子分解和累除法解决n!在b进制下末尾0的数量问题。提供完整解题思路和代码实现。

题目 https://codeforces.com/contest/1114/problem/C

思路

求 n！转化为 b 进制下末尾有多少个 0.

解题思路：

原题：swjtuOJ 2090

这是一道很好的数论题。

首先转换一下思路：

要求 n! 在 b 进制下有多少个尾 0 就相当于求 n! % (b^k) == 0 的最大 k。

那么我们现在把 n! 看作一个数 A。问题就是求 A % (b^k) == 0 的最大 k;

我们知道有素数分解定理： b = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 ...；

那么我们如果可以求得 A 里面 p1^b1 * p2^b2 * p3^b3 ... 的 b1, b2, b3...

那么答案 ans = min(ans, ai/bi ) 了也就是要整除，首先要满足最小的那个能整除。

(1)首先对 b 进行素因子分解，直接暴力（log b）, 用一个数组离散化形成该素因子的编号和该素因子的幂的映射或者用map存储该素因子的幂，得到所有素因子以及素因子的幂

(2)对于每一个素因子p，计算对应的 A（即 n! ) 中素因子p的幂，两者相除取所有p幂的最小值就是对应的最大整数。

这里求 n! 下素因子 p 的幂用累除法，因为存在推论：

n！下 p 的幂 = [ n/p ] + [ n/(p^2) ] + [ n/(p^3) ] ...

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN = 2e6+1000;
ll N, B;
vector<ll>prime;
map<ll, int>mmp;
void get_p(ll n)
{
    ll len = sqrt((double)n);
    for(ll i = 2; i <= len; i++){
        if(n%i == 0){
            prime.push_back(i);
            while(n%i == 0){
                n/=i;
                mmp[i]++;
            }
        }
    }
    if(n != 1){
        prime.push_back(n);
        mmp[n]++;
    }
}

ll calc(ll n, ll p)
{
    ll res = 0;
    while(n){
        res += n/p;
        n/=p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    ll sum = 1ll;
    scanf("%lld %lld", &N, &B);
    get_p(B);
    ll ans = (1ll<<62);
    for(ll i = 0; i < prime.size(); i++){
        ans = min(ans, calc(N, prime[i])/mmp[prime[i]]);
    }

    printf("%I64d\n", ans);
    return 0;
}