（动态规划）leetcode120:最小路径和

题目

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形：

[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle

分析

这是一道动态规划的问题，子问题的最优累加就是原问题的答案。
子问题：每一部分的最小路径和
原问题：三角形的最小路径和
triangle[i][j]表示第i行第j个点到底部的最小路径和
递归公式：triangle[i][j]=min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1])+triangle[i][j]
这个递推公式是怎么来的呢
对于最后一行来说，其最短路径就是该行的值
4，1，8，3
所以我们从倒数第二行开始遍历，此时triangle[i][j]的值就是该行的每一个数的值加上下一行与其相邻的两个数的最小值，此时倒数第二行结果为
7，6，10
以此类推，一步步的使每一行的结果变到最小，其序列结果变为
11
9，10
7，6，10
4，1，8，3
问题求的是从顶到下的最小路径值，所以问题的结果为11.

代码

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n=triangle.size();
        for(int i=n-2;i>=0;i--)//从倒数第二行开始遍历，一直往上递推
        {
            for(int j=0;j<=i;j++)//从每行的第一个点开始遍历
            {
                triangle[i][j]=min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1])+triangle[i][j];//每一次的最小值等于之前最小值加上下一行相邻两数的最小值
            }
        }
        return triangle[0][0];
//triangle[i][j]表示第i行第j个点到底部的最小路径值
    }
};

备注

1.对于动态规划问题，找出递推式比较重要