POJ3013 Big Christmas Tree

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本文详细解析了POJ3013 BigChristmasTree问题，介绍了如何通过计算每条边的边权来求得整棵树的最小边权和。利用乘法分配律将复杂问题简化，并通过Dijkstra算法寻找根节点到各点的最短路径。

题目

POJ3013 Big Christmas Tree

分析

题目大意：

给定一个计算公式：某条边的边权=其所有子节点的点权和 $\times$ 原始边权，以此生成一棵树，求最小边权和。

思路：

首先描述一下表达式： $ans=\sum_{(u,v)}{subsum[v]\cdot cost(u,v)}$ ;
我们考虑每个点对答案的贡献：对于某一点v，只有所有连接它的某一个祖先和该祖先的父亲的边,才会使用val[v]计算该边的权值。根据乘法分配律，也就是： $ans=\sum_v{val[v]\cdot cost(1,v)}$ ；cost(1,v)也就是根节点到v的最短路。
至于“No Answer”的情况，就是有一些点不与根节点连，跑完最短路后判断一下即可。
注意：要开long long！

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=100002;
const long long inf=9223372036854775807;
struct Edge{
    int to,next,v;
}e[maxn*2];
struct Node{
    int a;
    long long b;
    bool operator < (const Node &A) const
    {
        return b>A.b;
    }
};  
int a[maxn],head[maxn];
long long dis[maxn];
bool vis[maxn];
int n,m,T,cnt;
long long ans;

void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].v=w;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}

bool dij()
{
    priority_queue<Node>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dis[i]=inf,vis[i]=false;
    dis[1]=0;
    q.push(Node{1,0});
    while(!q.empty())
    {
        Node u=q.top();
        q.pop();
        if(vis[u.a])    continue;
        vis[u.a]=1;
        for(int i=head[u.a];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u.a]+e[i].v)
            {
                dis[v]=dis[u.a]+e[i].v*1ll;
                q.push(Node{v,dis[v]});
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(dis[i]==inf)
            return false;
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ans=0,cnt=0;
        memset(head,0,sizeof(head));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);
        }
        if(!dij())
        {
            printf("No Answer\n");
            continue;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans+=a[i]*dis[i]*1ll;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}