Luogu P2910 寻宝之路_p2910 洛谷 dijskra-优快云博客

针对Luogu P2910寻宝之路问题，通过逐步优化算法从70分提升至100分。首先使用Dijkstra算法解决，随后引入记忆化搜索提高效率，最后采用Floyd算法大幅降低时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

胡乱分析

对于航行序列，跑从每个起点开始到达相应终点的最短路，然后累加得到结果。试着用dijkstra实现，结果70分。

70分代码

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1002,inf=2147483647;
struct Edge{
    int to,next,v;
}e[maxn*maxn];
struct Node{
    int a,b;
    bool operator < (const Node &A) const 
    {
        return b>A.b;
    }
};
priority_queue<Node>q;
int head[maxn],dis[maxn],a[maxn*10];
bool vis[maxn];
int n,m,cnt,ans,x;
void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    e[cnt].v=w;
    head[u]=cnt;
}
int dijkstra(int s,int t)
{
    for(int j=1;j<=n;j++)
        dis[j]=inf;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    dis[s]=0;
    q.push((Node){s,0});
    while(!q.empty())
    {
        Node u=q.top();
        q.pop();
        if(vis[u.a])    continue;
        vis[u.a]=1;
        for(int i=head[u.a];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dis[u.a]+e[i].v<dis[v])
            {
                dis[v]=dis[u.a]+e[i].v;
                q.push((Node){v,dis[v]});
            }
        }
    }
    return dis[t];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            add(i,j,x);
        }
    for(int i=1;i<m;i++)
        ans+=dijkstra(a[i],a[i+1]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

深入分析

70分的原因是T了三个点。于是想到空间换时间。
加了一个记忆化迪杰斯特拉—-建一个re[s][t]数组保存起点s到终点t的最短路，被算过的值可以直接取用而不需再重跑dijkstra算法。结果80分。

80分代码

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1002,inf=2147483647;
struct Edge{
    int to,next,v;
}e[maxn*maxn];
struct Node{
    int a,b;
    bool operator < (const Node &A) const 
    {
        return b>A.b;
    }
};
priority_queue<Node>q;
int head[maxn],dis[maxn],a[maxn*10],re[maxn][maxn];
bool vis[maxn];
int n,m,cnt,ans,x;
void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    e[cnt].v=w;
    head[u]=cnt;
}
int dijkstra(int s,int t)
{
    if(re[s][t])    return re[s][t];
    for(int j=1;j<=n;j++)
        dis[j]=inf;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    dis[s]=0;
    q.push((Node){s,0});
    while(!q.empty())
    {
        Node u=q.top();
        q.pop();
        if(vis[u.a])    continue;
        vis[u.a]=1;
        for(int i=head[u.a];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dis[u.a]+e[i].v<dis[v])
            {
                dis[v]=dis[u.a]+e[i].v;
                q.push((Node){v,dis[v]});
            }
        }
    }
    return re[s][t]=dis[t];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            add(i,j,x);
        }
    for(int i=1;i<m;i++)
        ans+=dijkstra(a[i],a[i+1]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

冷静分析

依然T了2个点。回头看一下算法，70分做法的时间复杂度分析：
m次dijkstra，每一次的复杂度为O（n^2 log n），n为100，m为10000，m=n^2,总复杂度为O（m*n^2 log n）≈O(n^4 log n）；那么直接爆炸……
如果用floyed，那么只需要O（n^3）处理最短路，然后O（m）累加距离即可，因此是O（n^3+n^2）;
复杂度大大降低，于是最终A掉了。

100分代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=102;
int a[10002],dis[maxn][maxn];
int n,m,ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&dis[i][j]);
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    for(int i=1;i<m;i++)
        ans+=dis[a[i]][a[i+1]];
    printf("%d",ans);
    return 0;
}