gas station 证明解是存在的

scut_salmon

于 2019-08-16 21:04:12 发布

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分类专栏： LeetCode 文章标签： leetcode

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博客探讨了LeetCode上的Gas Station问题，证明了解总是存在的。通过分析，作者指出如果所有加油站的汽油总量大于或等于行驶成本总和，那么从某个站开始的旅行能够完成整个循环，从而得出解存在的结论。

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本博客参考自discuss

原题链接：https://leetcode.com/problems/gas-station/

1. 思路

若所有station的gas小于cost之和，则解一定存在 .证明如下：

假设i使得下式最小，则解的位置应为i+1

两部求证：

首先

（如该式不成立，i最小的假设不成立）

其次

gas[i+1]-cost[i+1]+...+gas[n-1]-cost[n-1] + gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[j]-cost[j]>=
gas[i+1]-cost[i+1]+...+gas[n-1]-cost[n-1] + gas[0]-cost[0]+gas[1]-cost[1]+...+gas[i]-cost[i]>=0

最后一个不等式成立是因为gas之和大于等于cost之和的大前提。总的来说，可发现从i+1开始的旅程能顺利到达i，解存在。