E. Pencils and Boxes (树状数组优化dp)

最新推荐文章于 2022-08-08 11:38:42 发布

原创最新推荐文章于 2022-08-08 11:38:42 发布 · 237 阅读

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#算法 #leetcode

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该博客介绍了如何使用动态规划和树状数组解决数组分组问题，其中数组元素需要满足差值限制。博主首先阐述了题意，即给定n个数和分组条件，判断是否可以将数分组成差值不超过d的组。接着分析了动态规划的状态转移，并通过排序简化问题。博主使用树状数组优化了dp过程，减少了查询和更新的时间复杂度。最终给出了C++实现代码，并分享了解题思路和个人感悟。

传送门

1.题意

给出n个数，要求给这些数分组，每组不少于k个。
每组的数之间的差不能大于d。是否能够分组？

2.dp分析

先排序。
$f [i]$ 表示[1~i]能够分组成功。
答案就是 $f [n]$

如何更新？
举例：
n=12 k=3 d=2
1 2 3 9 10 11 12 13 14 15 15 15
当更新到 $b [11]$ (15)时：
1.[8 ~ 11]能分成一组，如果[1 ~ 7]能够分组成功（ $f [7]$ =1），则[1 ~ 11]能够分组成功（ $f [11]$ =1）。（此时为b[11]右边界情况下，最后一组元素个数最多的情况）（b[8]是最小的，与b[11]差值小于d的元素）
2.[9 ~ 11]能分成一组，如果[1 ~ 8]能够分组成功（ $f [8]$ =1），则[1 ~ 11]能够分组成功（ $f [11]$ =1）。（此时为b[11]右边界情况下，最后一组元素个数最少的情况）（b[9],b[10],b[11]，k个元素）
3.中间情况

推广：
对于位置i，如果f[t]~f[i-k+1]中有true，则f[i]为true。
t：与b[i]差值小于d的最小元素下标。
i-k+1：最小元素个数（k个）
（注意：t于i-k+1相对大小不固定，但是查询时(l>r)不影响结果）

优化：
树状数组 $c [N]$

3.代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
//-----pre_def----
const double PI = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
#define fir(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define rif(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define endl '\n'
#define init_h memset(h, -1, sizeof h), idx = 0;
#define lowbit(x) x &(-x)

//---------------
const int N = 5e5 + 10;
int n, k, d;
int b[N], f[N]; //f[i]==1~i能否成功
int c[N];       //树状数组优化dp
void add(int u, int k)
{
    for (int i = u; i <= n; i += lowbit(i))
    {
        c[i] += k;
    }
}
int sum(int u)
{
    int res = 0;
    for (int i = u; i; i -= lowbit(i))
    {
        res += c[i];
    }
    return res;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    int StartTime = clock();
#endif
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &d);
    fir(i, 1, n) scanf("%d", &b[i]);
    sort(b + 1, b + 1 + n);
    for (int i = k; i <= n; i++)
    {
        if (b[i] - b[1] <= d)
            f[i] = 1;//初始化
        else
        {
            int tmp = lower_bound(b + 1, b + 1 + n, b[i] - d) - b - 1;
            if (sum(i - k) - sum(tmp - 1) > 0)
                f[i] = 1;
        }
        if (f[i])
            add(i, f[i]);
    }
    if (f[n])
        puts("YES");
    else
        puts("NO");
#ifndef ONLINE_JUDGE
    printf("Run_Time = %d ms\n", clock() - StartTime);
#endif
    return 0;
}