2019 杭电多校第十场 HDU 6693 （概率）

最新推荐文章于 2023-08-21 01:26:36 发布

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本文探讨了一个涉及概率计算的问题，即如何在给定的物品集合中选取k个物品，使得从中随机选择一个物品的概率达到最大。文章提供了一种算法思路，通过拆分公式并使用排序、前缀和等技巧，避免了除零错误，最终实现了概率的最大化。

题意：

给n个物品，每个物品有一个被选中，任选k个，怎么选才能使从k个物品中选一个物品的概率最大

思路：

$P_k=a_1(1-a_2)...(1-a_k)+a_2(1-a_1)...(1-a_k)+a_k(1-a_1)(1-a_2)... \\ =\frac{a_1}{1-a_1}(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_k)+\frac{a_2}{1-a_2}(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_k)+...+\frac{a_k}{1-a_k}(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_k) \\ =\prod_1 ^k (1-a_i)*\sum _1^k (\frac{1}{1-a_i}-1) \\ =\prod_1 ^k (1-a_i)*\sum _1^k (\frac{a_i}{1-a_i})$

因为这个式子由两部分组成，一部分是累乘一部分累加，所以可以将这个式子拆开来写

$sum_k=\sum _1^k (\frac{a_i}{1-a_i})$

$mul_k=\prod_1 ^k (1-a_i)$

这样枚举i从1到n即可

但是a[1]=1.0的时候,1-a[1]=0,这样前缀和就不对了（除零错误），需要特判

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e4+10;
double p[maxn],sum[maxn],mul[maxn]={1};
int main(){
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n;scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lf",&p[i]);
        }
        sort(p+1,p+n+1,greater<double>());
        if(p[1]==1){
            printf("%.12lf",1.0);
            continue;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            sum[i]=sum[i-1]+p[i]/(1-p[i]);
            mul[i]=mul[i-1]*(1-p[i]);
        }
        double ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ans=max(ans,sum[i]*mul[i]);

        }
        printf("%.12lf\n",ans);
    }
}