最大连续子序列和：动态规划经典题目

最新推荐文章于 2025-06-03 10:50:35 发布

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划最大连续子序列和

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/samjustin1/article/details/52043173

本文探讨了求解给定整数序列的最大连续子序列和的问题，从O(N^3)的穷举法逐步优化到O(NlogN)的分治法，最终采用O(N)的动态规划解决方案。通过算法分析，揭示了动态规划的思想及其在解决问题中的应用。

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【题目】

给定k个整数的序列{N1,N2,...,Nk }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= k。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{11,-4,13}，最大连续子序列和即为20。

【注】：为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序列和为0。

解决这样一个问题是一个很有趣的过程，我们可以尝试着从复杂度比较高的算法一步一步地推出复杂度较低的算法。

【算法1】

时间复杂度：O(N^3)

int MaxSubSequence(const int A[], int N){
  int ThisSum,MaxSum,i,j,k;
  MaxSum = 0;
  for(i=0;i<N;i++)
  {
    for(j=i;j<N;j++)
    {
      ThisSum = 0;
      for(k=i;k<=j;k++)
      {
        ThisSum += A[k];
      }
      if(ThisSum > MaxSum)
        MaxSum = ThisSum;
    }
  }
  return MaxSum;
}

对于此种算法，其主要方法是穷举法，即求出该序列所有子序列的序列和，然后取最大值即可。

【算法2】

时间复杂度：O(N^2)

int MaxSubSequence(const int A[], int N){
  int ThisSum,MaxSum,i,j;
  MaxSum = 0;
  for(i=0;i<N;i++)
  {
    ThisSum = 0;
    for(j=i;j<N;j++)
    {
      ThisSum += A[j];
      if(ThisSum > MaxSum)
        MaxSum = ThisSum;
    }
  }
  return MaxSum;
}

【分析】