相关分析的总结

在一个 W 窗口中，有着 N × N 个像素，在这个二维的窗口中每个点的梯度方向用 ⃗g 表示，则该窗口的梯度集为： G = {gi}m i=1 w。为了求解该结构的走向，即求出该梯度集的法向 ⃗v（v为单位向量），方向⃗v 可以通过计算 G 上的所有梯度在 ⃗g 上的投影的平方和的最小值得到。梯度在 ⃗g 上的投影的平方和的公式如式;

求 v 的方向的问题就转化为求 E(v) 的极小值问题，所以要求 v 的方向就要求解式；

其中的对称矩阵 GGT 就称为相关矩阵，其具体的表达式为：

最小的 E(v) 值，是当 ⃗v 方向为相关矩阵M较小的特征值对应的特征向量。即该点的切向为该点相关矩阵较小特征值Lambda2对应的特征向量的方向，较大的特征值Lambda1对应的是该点曲线的法向。通过其推导公式，可以得出，Lambda1、2的物理意义。相关矩阵Lambda1表示的是该窗口内各点在法线方向的投影平方和，象征着法向方向的对齐率。lambda2表示窗口内各点在切线方向的投影的平方和，象征着切线方向的对齐率。