算法分析-顺序数选择

顺序数，order statics，直接翻译是顺序统计，个人觉得不能表达他的意思。实际上它指的是指定集合中的一个数字，这个数字在排序后的集合中占据第i个位置。显然这个数是和顺序相关的，而和统计的关系不大。

特殊的顺序数有最大值，最小值，分别对应第n顺序数和第1顺序数。

选择算法就是求解顺序数的算法：

输入：一个包含n个不同数字的集合，以及一个整数 i 表示第几个顺序数；

输出：第 i 个顺序数。


求最小数和最大数可以在线性时间内完成，求最小的代码如下：

F(p,q)

tmp = A[p];

p++

while(p<=q)

  if(tmp<A[p])

     tmp=A[p]

  p++

return tmp

显然算法复杂度为O（n）.

如果需要同时求最大最小，可以通过每次取两个数，其中大的一个和当前最大值比，小的和最小值比，从而可以实现 3*n/2的比较次数。


如果求任意一个顺序数，例如第2个，第3个，那么用比较的方法复杂度较高，而使用快速排序的分区方法复杂度就降低很多。算法如下：

F(p,q,i)

  if(p=q) return A[p];

  r=partition(p,q)

  if(r<i)     F(r+1,q,i-r)

  else if (r >i)   F(p,r-1,i)

  else return A[r]

在这个算法中 T(n)=T(k)+T(n-k-1)+O(n)

如果极度不均衡，每次分区的结果一个为0，那么复杂度是n*n。

平均复杂度可以如下计算。

首先，n的复杂度取决于它分成的两个分区的较大的那份。即：

T(n)<= T( max(k-1,n-k))+O(n)，O(n)是分区函数的复杂度

利用随机变量X(k)当取到k为1否则为0，那么

T(n)=Sum( X(k)*T( max(k-1, n-k))+O(n)

由于X(k)和T同时发生的概率等于两个的乘法，所以独立。

故E(T(n)=1/n Sum(E (T(k))+o(n)

通过代入法，可得T(n)<cn

因此该算法的平均复杂度是O(n)


通过对上述算法的改良，可以得到最坏复杂度为线性的算法。

   1. 首先将输入数组5个分成一组，有k组；
   2. 每组求中间数，共k个；
   3. 对k个中间数求中间数，x；
   4. 对x分区，得到结果r；
   5. i小于r在左边分区继续找；i大于r在右边找；

由于每次都会使得3*n/10的数据小于和大于n故最大分区时7*n/10。

因此T(n)=T(n/5)+T(n*7/10)+O(n)

根据代入法，可知结果为线性。


当然上述算法可以扩展，如果只分成3个一组的话，那么每组最大分区是2/3。

因此复杂度为T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+O(n)

如果带入T(n)<cn,

T(n)=cn/3+2cn/3+an<cn不能成立。


最后那个输油管道的问题，不知道怎么解决。