多项式求逆

前言

赶紧补坑

求解

大概是求：
$$A(x)B(x)\equiv 1(mod{x}^n)$$
注意我们可以很容易求：
$$A(x)B(x)\equiv 1(mod{x}^1)$$
考虑如何把问题规模减半，假设我们知道了模$x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$的逆元$C(x)$：
$$A(x)C(x)\equiv 1(mod{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$$
与原式相减可得：
$$B(x)-C(x)\equiv 0(mod{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$$
两边平方，注意模域可以平方（手画卷积可以发现）：
$$B^2(x)-2B(x)C(x)+C^2(x)\equiv 0(mod{x}^n)$$
乘上$A(x)$后移项可得：
$$B(x)\equiv 2C(x)-A(x)C^2(x)(mod{x}^n)$$
至此，求解变成子问题，乘法通过FFT优化，可以做到$O(n\log n)$

模板

void inv(int ln,int *a,int *b){
	if(ln==1){
		b[0]=qpow(a[0],mo-2);
		return;
	}
	inv((ln+1)>>1,a,b);
	int cnt=0;
	for(fn=1;fn<(ln<<1);fn<<=1) ++cnt;
	fo(i,1,fn-1) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(cnt-1);
	fo(i,0,ln-1) c[i]=a[i];
	fo(i,ln,fn-1) c[i]=b[i]=0;
	NTT(c,1),NTT(b,1);
	fo(i,0,fn-1) b[i]=(2-(ll)c[i]*b[i]%mo+mo)%mo*b[i]%mo;
	NTT(b,-1);
	fo(i,ln,fn-1) b[i]=0;
}