【JZOJ3823】遇见

Description

Zyh独自一人在街上漫步。Zyh相信不久后应该就可以和她一起漫步，可是去哪里寻找那个她呢？Zyh相信每个人都有一个爱情的号码牌，这个号码牌是一个n*n的矩阵。
每个人都要在矩阵中选择若干个元素，使得每行每列都有奇数个数被选中，且选中的数字的乘积是完全平方数。每当选出了这若干个元素，他/她就能找到那个她/他。
Zyh想知道对于一个号码牌有多少种选择的方法，使得zyh能够不再孤独。由于这个数字很大，只要输出对1,000,000,007取模后的余数即可。

Solution

我们设$P_{i,j}$表示$(i,j)$这个格子选不选。

现在有两个条件：
1. 使得每行每列都有奇数个数被选中
2. 选中的数字的乘积是完全平方数

我们先看条件1，那么要满足：
$P_{i,1}⊕P_{i,2}⊕\cdots ⊕P_{i,n}=1(1\leq i\leq n)$
$P_{1,j}⊕P_{2,j}⊕\cdots ⊕P_{n,j}=1(1\leq j\leq n)$
（这里的⊕是异或的意思）

再看条件2：
我们把所有数分解质因数，记出现的质数为$p_1,p_2,\cdots,p_m$。

定义$f(k,x)$表示$x$这个数是包含了奇数还是偶数个第$k$个质数因子，分别用1或0表示。

举个例子：
$72=2^3\cdot 3^2$
那么$f(2,72)=1,f(3,72)=0$

然后对于第$k$个质数，我们可以得出式子：
$P_{1,1}f(p_k,a_{1,1})⊕P_{1,2}f(p_k,a_{1,2})⊕\cdots⊕P_{n,n}f(p_k,a_{n,n})=0$

然后我们得出了一些式子，这就是很经典的异或方程组模型，用高斯消元求自由元个数$t$，答案就是$2^t$。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define rep(i,x) for(int i=ls[x];i;i=nx[i])
#define N 31
#define M 3001
#define ll long long
#define mo 1000000007
#define mod 300007
using namespace std;
int a[M][N*N];
int n;
int bh[M][N*N];
int pr[M];
int h[mod],wz[mod];
int w;
bool hash(int x)
{
    int p=x%mod;
    while(h[p] && h[p]!=x) p=(p+1)%mod;
    w=p;
    if(h[p]==x) return true;
    return false;
}
int g(int x,int y){
    return (x-1)*n+y;
}
int gauss(int tot,int m)
{
    int i=0,j=0;
    while(i<m && j<tot)
    {
        int r=i;
        fo(k,i,m) if(a[k][j]) {r=k;break;}
        if(a[r][j])
        {
            if(r!=i)
            fo(k,0,tot) swap(a[i][k],a[r][k]);
            fo(l,i+1,m-1) if(a[l][j])
            fo(k,i,tot) a[l][k]^=a[i][k];
            int t=0;
            i++;
        }
        j++;
    }
    fo(i,0,m-1)
    {
        int t=0;
        fo(j,0,tot-1) t+=a[i][j];
        if(!t && a[i][tot]==1) return -1;
    }
    return i;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n)
    fo(j,1,n)
    {
        ll x;
        scanf("%lld",&x);
        int p=2;
        while(p*p<=x)
        {
            int t=0;
            bool tf=hash(p);
            if(x%p==0 && !tf)
            {
                pr[++pr[0]]=p;
                wz[w]=pr[0];
                h[w]=p;
            }
            while(x%p==0) x/=p,t^=1;
            bh[wz[w]][g(i,j)]=t;
            p++;
        }
        if(x>1)
        {
            bool tf=hash(x);
            if(!tf)
            {
                pr[++pr[0]]=x;
                wz[w]=pr[0];
                h[w]=x;
            }
            bh[wz[w]][g(i,j)]=1;
        }
    }
    int m=0;
    fo(i,1,n)
    {
        fo(j,1,n) a[m][g(i,j)-1]=1;
        a[m][n*n]=1;
        m++;
    }
    fo(j,1,n)
    {
        fo(i,1,n) a[m][g(i,j)-1]=1;
        a[m][n*n]=1;
        m++;
    }
    fo(p,1,pr[0])
    {
        fo(i,1,n)
        fo(j,1,n)
        a[m][g(i,j)-1]=bh[p][g(i,j)];
        a[m][n*n]=0;
        m++;
    }
    int t=n*n-gauss(n*n,m);
    if(t==n*n+1)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    ll ans=1;
    fo(i,1,t) ans=ans*2%mo;
    printf("%lld",ans);
}