算法设计作业11

第十一周作业：

516. Longest Palindromic Subsequence

解题思路：

516. Longest Palindromic Subsequence

Given a string s, find the longest palindromic subsequence's length in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

Example 1:
Input:

"bbbab"

Output:

4

One possible longest palindromic subsequence is "bbbb".

Example 2:
Input:

"cbbd"

Output:

2

One possible longest palindromic subsequence is "bb".

思路：典型的动态规划题目，参考LCS的递推公式：

i和j表示从第i到j个字符串的最长长度。

将矩阵画出会比较直观：

以"bbbab"为例：行代表i，列代表j

 1 2 3 3 4 
 0 1 2 2 3 
 0 0 1 1 3 
 0 0 0 1 1 
 0 0 0 0 1 

不难看出，初始状态是将上三角全部初始化为1：

1 0 0 0 0 
0 1 0 0 0 
0 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 
0 0 0 0 1 

然后我们要逐渐来填充这个矩阵，保证右上角的是最终结果，即dp[0][length-1]。

所以我们从最后一行开始填写这个矩阵。即i从length-1到0,然后j从i+1到length，即这样一个顺序：

先考虑一个简单的情况，当s[i]!=s[j]时，这个时候也就是说，dp[i][j]一定包含于dp[i+1][j]或dp[i][j-1]中。因为i是降序，j是升序，那么降序的上一步就是i+1，升序的上一步就是j-1。在矩阵中就是当前元素的左边或者下边。

第二种情况，当s[i]==s[j],这个时候说明，当前位置的子串会对整体长度的贡献产生影响，那么这个贡献是多少呢，比如说b******b这样一个子串，当i=0，j=length-1时，i和j分别在两个b的位置，那么dp[i][j]的值一定是dp[i+1][j-1]的值再加上头和尾这两个b的值，也就是dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2。

这就是两种递推式。

代码如下：

class Solution {
public:
	int longestPalindromeSubseq(string s) {
		vector<vector<int>> dp(s.length(), vector<int>(s.length()));
		for (int i = 0; i < s.length(); i++)
			dp[i][i] = 1;

		for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
			for (int j = i + 1; j < s.length(); j++) {
				if (s[i] == s[j])
					dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
				else
					dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
			}
		}
		return dp[0][s.length() - 1];
	}
};