11、时间序列模型的自相关、谱分析与估计

时间序列模型的自相关、谱分析与估计

1. 自相关函数的误差问题

在时域中，绝对误差可能导致受干扰的自相关函数的逆傅里叶变换不再处处为正，即稍微受干扰的函数不再具备合适自相关的特性。给真实自相关函数 $r(k)$ 的单个滞后添加一些噪声，往往就足以破坏其半正定性。自相关平方差的无穷和中一个非常小的绝对误差，可能会产生很大的影响。这意味着目前还没有定义出衡量自相关准确性的有效方法。

对于自相关函数的误差度量需要特别谨慎。到目前为止，预测误差是时域中的一种准确性度量，但自相关函数还没有等效的度量方法。有人提出了时域中的倒谱度量，倒谱定义为谱密度对数的逆傅里叶变换：
[c(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\ln S(\omega)e^{j\omega k}d\omega, k = 0,1,2,\cdots]

研究表明，倒谱平方差的求和与谱失真（SD）具有相似的性质。帕塞瓦尔关系给出了倒谱与归一化谱对数在时域和频域之间的等效性：
[\sum_{k=-\infty}^{\infty}[c(k)-\hat{c}(k)]^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}[\ln\hat{S}(\omega)-\ln S(\omega)]^2d\omega]

与谱失真（SD）的比较表明，倒谱距离与 SD 相同，只是相差一个常数 2 和一些方差归一化。因此，模型误差（ME）也可以看作是自相关函数质量的一种度量。目前尚未有基于自相关函数本身的其他有用准确性度量，因此常使用谱度量，因为准确的谱对应准确的自相关函数，反之亦然。

2. ME 与三角偏差

AR 模型可作为谱