22、模糊关系与通用逼近：理论与应用解析

模糊关系与通用逼近：理论与应用解析

1. 模糊关系基础

在模糊逻辑中，广义假言推理模式有着重要地位。对于“若 X 是 A，则 Y 是 B”以及“X 是 A∗”这样的前提，我们能得出结论 B∗ = R ◦ A∗。这里的 R 是 U × V 上的模糊关系，代表着“若 X 是 A，则 Y 是 B”这一条件，即 R(u, v) = (A(u) ⇒ B(v))，其中 ⇒ 是模糊蕴含算子。

更一般地，在关系的合成运算里，特殊的 t - 范数 ∧ 可被任意 t - 范数 △ 替代，从而得到 B∗(v) = ∨u∈U{(A(u) ⇒ B(v)) △ A∗(u)}。倘若要与经典的假言推理模式一致，也就是当 A∗ = A 时，B∗ = B，那么就需要对 △ 和 ⇒ 进行恰当选择。这个选择问题可细分为两个部分：
- 对于每个固定的模糊蕴含算子 ⇒，确定能使 B = R ◦ A 的 t - 范数 △。
- 对于每个固定的 t - 范数 △，确定能使 B = R ◦ A 的 ⇒。

这些问题属于泛函方程领域，在此不做深入探讨。

2. 模糊关系相关练习

以下是一系列关于模糊关系的练习，涵盖了关系的性质验证、合成运算等方面。
1. 设 R 和 S 是 U 上的两个 ∧ - 模糊等价关系，证明 W : U × U → [0, 1] : (u, v) → R(u, v) ∧ S(u, v) 是 U 上的 ∧ - 模糊等价关系。
2. 设 U = {u1, u2, …, un}，V = {v1, v2, …, vm}，W = {w1, w2, …, wk}。R 和 S 分别是 U × V 和 V × W 中的关系，以 n × m 和