7、模糊集逻辑方面的深入探讨

模糊集逻辑方面的深入探讨

1. 公式与模糊集的关联

公式与模糊集存在特定的关联。对于每个公式 (u)，可以将其与一个从 ([0, 1]^V) 到 ([0, 1]) 的模糊子集相关联，这个模糊子集由 (t \to t(u)) 给出。这样，我们就得到了一个从公式集合 (F) 到 ([0, 1]^V) 的模糊子集集合的映射。这个映射进一步诱导出一个从 (F/ \equiv) 到从 ([0, 1]^V) 到 ([0, 1]) 的映射集合的一一对应，也就是到 ([0, 1]^V) 的模糊子集集合的一一对应。这个一一对应将模糊逻辑等价与模糊集的相等联系起来。

2. 模糊逻辑与卢卡西维茨逻辑

• 构造对比 ：三值卢卡西维茨命题演算和模糊命题演算的 (F/ \equiv) 构造，除了所使用的真值不同外，其他方面是相同的。在三值卢卡西维茨逻辑中，真值集合是 ({0, u, 1}) ；而在模糊逻辑中，真值集合是区间 ([0, 1]) ，并且定义了如下运算：
  • (x \vee y = \max{x, y})
  • (x \wedge y = \min{x, y})
  • (x’ = 1 - x)
• 等价性证明 ：可以证明三值卢卡西维茨逻辑的命题演算和模糊逻辑的命题演算是相同的。真值评估是从 (F) 到真值集合的映射 (f) ，满足以下条件：
  • (f(v \vee w) = f(v) \vee f(w))
  • (f(v \wedge w)