非线性回归分析及其Matlab实现

• 回归分析简介

回归分析(regression analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。

如果只有一个自变量，则称之为一元回归分析；如果具有多个自变量，则称之为多元回归分析。

如果自变量与因变量之间的函数关系是线性函数，则称之为线性回归分析，否则称之为非线性回归分析。

线性回归的函数表达式一般表示为：

对于非线性回归分析，需要根据实际情况来确定函数类型，再根据已知的数据来估计非线性函数中的参数。常见的回归函数有幂函数、指数函数、对数函数、S型曲线函数，S型曲线函数中常见的是Logistic回归模型，其函数表达式为：

 

对于非线性回归，往往需要根据已知的数据绘制散点图，以此分析出数据的变化趋势，进而确定回归模型。

• 基于Matlab的非线性回归分析

1.函数nlinfit语法：

[beta,r,j] = nlinfit(x,y,@function,b0)

x表示自变量

y表示因变量

function表示回归函数的函数名

b0表示回归函数中参数的初值

beta表示回归参数的最优值

r表示残差

j表示雅克比矩阵

2.案例：

现有某地区1971—2000年的人口数据，试对该地区的人口变化进行曲线拟合。

年份	时间变量x=年份-1970	人口y(人)
1971	1	33 815
1972	2	33 981
1973	3	34 004
1974	4	34 165
1975	5	34 212
1976	6	34 327
1977	7	34 344
1978	8	34 458
1979	9	34 498
1980	10	34 476
1981	11	34 483
1982	12	34 488
1983	13	34 513
1984	14	34 497
1985	15	34 511
1986	16	34 520
1987	17	34 507
1988	18	34 509
1989	19	34 521
1990	20	34 513
1991	21	34 515
1992	22	34 517
1993	23	34 519
1994	24	34 519
1995	25	34 521
1996	26	34 521
1997	27	34 523
1998	28	34 525
1999	29	34 525
2000	30	34 527

Matlab实现如下：

 

1）首先绘制散点图如下 ：

 

根据此图，可以 看出两组数据走势满足Logistic模型，因此选择Logistic回归模型。

2）新建一函数文件，文件名为ModelFunction.m，文件内容如下：

function y = ModelFunction( beta, x )

y = 1 ./ (beta(1) + beta(2) * exp(-x));

3）再创建一个新的M文件，文件名为TestData.m，其内容如下：

x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30]; 

y=[33815 33981 34004 34165 34212 34327 34344 34458 34498 34476 34483 34488 34513 34497 34511 34520 34507 34509 34521 34513 34515 34517 34519 34519 34521 34521 34523 34525 34525 34527];

b0=[0.0001 0.00001];

[ beta, r, j ] = nlinfit( x, y, @ModelFunction, b0 )

 

4）运行结果如下：

beta的输出值为

beta =

    1.0e-004 *

0.2902    0.0184

即回归分析方程为：

 

最后执行命令：plot( x, ModelFunction( beta, x ) )，得到拟合之后的结果：

作者：YangYF