Ex 15.4-5 of introduction to algorithms

本文介绍了一种求解最长单调递增子序列问题的动态规划算法,并给出了具体实现思路与步骤。通过定义状态转移方程,最终实现了时间复杂度为 O(n^2) 的解决方案。

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Question:
Give an O(n squared)-time algorithm to find the longest monotonically increasing subsequence of a sequence of n numbers.

Answer:
A brute-force approach is enumerate all subsequences of the n numbers and find out a monotonically increasing one with the longest length. This algorithm has a poor exponential running time.
This problem exhibit optimal substructure and overlapping subproblems properties, and is suited for dynamic programming.

Let A denotes the array of n numbers, A[i] is the ith number of the array.
Let P{i,j} denotes problem of finding the longest monotonically increasing subsequence. So the original problem is P{1,n}.
Let S(i,j) denotes the length of longest subsequence of P{i,j}.
Let M(i,j) denotes the largest number in the longest subsequence of P{i,j}. Note for P{i,j}, there may exist several subsequence has the same longest length, M(i,j) should be the smallest one of them.

For P{1,j}, if A[j] is larger than M(1,j-1), then S(1,j) equals S(1,j-1) plus 1. Otherwise, it equals S(1,j-1).
So, we have:
  S(1,j) = S(1,j-1) if A[j] <> M[1,j-1]

The complicated thing in this procedure is how to maintain M's value correctly. The idea is if A[j] is larger than M(1,j-1), M(1,j) should be A[j]. If A[j] is smaller than M(1,j-1), M(1,j) should either be M(1,j-1) or A[j] if A[j] is larger than M(1,x) where S(1,x) is less than S(1,j-1).

This equation yields a n squared running time algorithm.


Correction:

Having done some tests, the preceding algorithm failed for this case: "8 9 1 2 3 4".  

The recursion can be performed another way. Let S(i) denotes the length of the longest subsequence that ended with item A(i). So, the relationship between a problem and its subproblem can be expressed as:

S(i) = max{ S(k)+1 } (k is between 0 and i -1) that all k satisfies A[k] is less than A[i]

And the final result is the largest one of array S.


Source code for this solution is here:

http://code.google.com/p/rxwen-blog-stuff/source/browse/trunk/algorithm/i2a_ex_15.4-5/ex15_4_5.cpp

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/67c535f75d4c 在机器人技术中,轨迹规划是实现机器人从一个位置平稳高效移动到另一个位置的核心环节。本资源提供了一套基于 MATLAB 的机器人轨迹规划程序,涵盖了关节空间和笛卡尔空间两种规划方式。MATLAB 是一种强大的数值计算与可视化工具,凭借其灵活易用的特点,常被用于机器人控制算法的开发与仿真。 关节空间轨迹规划主要关注机器人各关节角度的变化,生成从初始配置到目标配置的连续路径。其关键知识点包括: 关节变量:指机器人各关节的旋转角度或伸缩长度。 运动学逆解:通过数学方法从末端执行器的目标位置反推关节变量。 路径平滑:确保关节变量轨迹连续且无抖动,常用方法有 S 型曲线拟合、多项式插值等。 速度和加速度限制:考虑关节的实际物理限制,确保轨迹在允许的动态范围内。 碰撞避免:在规划过程中避免关节与其他物体发生碰撞。 笛卡尔空间轨迹规划直接处理机器人末端执行器在工作空间中的位置和姿态变化,涉及以下内容: 工作空间:机器人可到达的所有三维空间点的集合。 路径规划:在工作空间中找到一条从起点到终点的无碰撞路径。 障碍物表示:采用二维或三维网格、Voronoi 图、Octree 等数据结构表示工作空间中的障碍物。 轨迹生成:通过样条曲线、直线插值等方法生成平滑路径。 实时更新:在规划过程中实时检测并避开新出现的障碍物。 在 MATLAB 中实现上述规划方法,可以借助其内置函数和工具箱: 优化工具箱:用于解决运动学逆解和路径规划中的优化问题。 Simulink:可视化建模环境,适合构建和仿真复杂的控制系统。 ODE 求解器:如 ode45,用于求解机器人动力学方程和轨迹执行过程中的运动学问题。 在实际应用中,通常会结合关节空间和笛卡尔空间的规划方法。先在关节空间生成平滑轨迹,再通过运动学正解将关节轨迹转换为笛卡
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