22、神经网络设计逻辑基础与数据分析应用

神经网络设计逻辑基础与数据分析应用

1. 神经网络设计逻辑基础概述

在神经网络设计领域，有一种基于归纳而非演绎操作的人工神经网络设计方法。虽然单个 ILU（Inductive Logic Unit）已在白内障筛查的生物医学应用中有所展现，但目前尚未产生广泛的实际效用，也未涉及多个 ILU 配置之间的定时和同步问题。不过，将已描述的分析扩展到这些更具实际用途的多 ILU 配置并非难事。

这种设计方法具有分析上的易处理性、直观性和合理性。所提出的 ILU 以及任何已实现的 ILC（Inductive Logic Circuit）代表了传统数字计算机和演绎逻辑的计算泛化。在该领域，许多思想并非全新，其逻辑遗产可追溯甚远。

乔治·斯宾塞 - 布朗最早确定了布尔代数的逻辑起源，并强调了可区分性作为逻辑基础的本质。埃德温·杰恩斯、迈伦·特里布斯和理查德·考克斯是归纳逻辑领域的主要当代贡献者。杰恩斯建立了热力学与信息论之间的联系，表明热力学并非任意理论，而是理论的理论。特里布斯受杰恩斯工作的启发，扩展了归纳逻辑的实际效用并推进了其逻辑基础，他首次构思了 ILC 设计的一组期望条件，为这里描述的方法提供了基础。考克斯则深刻认识到断言、问题、概率和熵的基本物理性质，本文可视为对他观点的更详细阐述。

1.1 ILU 分布相关公式

在附录中，给出了一些重要的边际和条件 ILU 分布公式：
- 完整的联合输入 - 输出分布：
- (p(x \land y|a) =) （A1）
- 归一化所需的配分函数 (Z)：
- (Z = \sum_{y’\in Y}\sum_{x’\in X} \exp[\lambda(x’, y’) - \mu y’]) （A2）
- 边际输入分布：
- (p(x|a) = \frac{1 + \exp[\lambda x - \mu]}{}) （A3）
- 边际输出分布：
- 无输出决策的无条件概率：(P(y = 0|a) =) （A5）
- 输出决策 (y = 1) 的无条件概率：(p(y = 1|a)=) （A6）
- 给定输入 (x) 时输出 (y) 的条件概率：
- (p(y|a \land x) =) （A7）
- 给定输入 (x) 时无决策（即 (y = 0)）的条件概率：
- (p(y = 0|a \land x)=) （A8）
- 给定输入 (x) 时决策 (y = 1) 的条件概率：
- (p(y = 1|a \land x) = \frac{\exp[\lambda x - \mu]}{1 + \exp[\lambda x - \mu]} = \frac{1}{1 + \exp[-\lambda x + \mu]} = \frac{1}{1 + \exp[-f(x)]}) （A9）
- 给定输出 (y) 时输入 (x) 的条件分布：
- (p(x|a \land y) = \frac{\exp[\lambda(x \land y) - \mu y]}{\sum_{x’\in X} \exp[\lambda(x’ \land y) - \mu y]}) （A10）
- 给定无输出决策（(y = 0)）时输入 (x) 的条件分布：
- (p[x|a \land (y = 0)] =) （A11）
- 给定输出决策 (y) 时输入 (x) 的条件分布：
- (p[x|a \land (y = 1)] = \frac{\exp[\lambda x - \mu]}{\sum_{x’\in X} \exp[\lambda x’ - \mu]} = \frac{\exp[\lambda x]}{\sum_{x’\in X} \exp[\lambda x’]}) （A12）

2. 神经网络在数据分析中的应用

2.1 数据分析面临的问题

分析师在寻找自动数据分类器时面临诸多问题。一方面是需要尽可能准确分类的数据对象，另一方面有众多分类器可供选择。如何为给定的对象集选择最佳分类器是个难题，而且在数据集上训练神经分类器没有通用的方法。最好的做法是从可用数据中获取尽可能多的信息，以匹配所选分类器的能力。

2.2 数据分析的一般步骤

解决给定数据分类问题的一般步骤如下：

graph LR
    A[分析数据复杂度] --> B[分析数据可分离性]
    B --> C[选择合适分类器]
    C --> D[训练分类器并跟踪泛化行为和稳定性]
    D --> E[得到最优解决方案]

• 分析数据复杂度 ：了解数据的复杂程度，以便选择合适的分析方法。
• 分析数据可分离性 ：通过可视化数据在特征空间的分布，判断数据的可分离性，从而选择合适的分类器。
• 选择合适分类器 ：估计分类器的可靠性或置信度，选择置信度高的分类器。
• 训练分类器并跟踪泛化行为和稳定性 ：在训练过程中，跟踪网络的泛化行为，避免过拟合；同时关注分类器的稳定性，稳定的分类器更有利于解决问题。

2.3 数据复杂度分析方法

数据复杂度分析方法可分为算法复杂度和描述复杂度。算法复杂度取决于执行算法所需的计算能力，是主观的；描述复杂度则关注方法的能力，如泛化能力和自由参数数量。数据复杂度分析方法主要分为以下三类：
| 类别 | 描述 | 所需数据量 | 示例算法 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 原型向量方法 | 确定数据中的聚类中心，数据需求较低 | 较少 | 向量量化、Isodata/K - Means 聚类、自组织映射、ART 网络、层次聚类、最小生成树 |
| 子空间或投影方法 | 确定数据中重要的组件，用减少的组件集描述数据，需要更多对象 | 较多 | 卡尔胡宁 - 勒维变换、奥贾神经元、萨蒙投影、自组织映射、自联想前馈神经网络 |
| 密度估计方法 | 估计数据中的密度，所需数据量最大 | 很多 | 径向基函数、帕曾方法、玻尔兹曼神经网络 |

2.3.1 原型向量方法

这类方法具有最低的描述复杂度。可用对象可分为不同的聚类，每个聚类用一个称为原型的向量表示。原型数量可固定或在学习过程中增加，但过多原型可能导致“过度表示”。常见的算法有：
- 向量量化 ：从随机初始化的固定数量原型开始，每次更新时，将最接近被研究对象的原型向该对象更新，最终得到位于数据聚类中心的原型集。
- Isodata/K - Means 聚类 ：与向量量化基本相同，但采用批量更新方式。每次更新时，将可用对象分配给一个原型，然后通过取分配给该原型的对象特征向量的平均值来更新原型。
- 自组织映射 ：考虑了不同原型之间的邻域关系，比前两种方法更复杂，需要更多数据来准确执行算法。
- ART 网络 ：与向量量化方法类似，但能够增加原型数量（至少到一定限制）。输入对象要么添加到匹配的原型中，要么被拒绝，若被拒绝则可创建新原型。

此外，还有传统的非神经技术，如层次聚类（构建对象的树结构，可直观检查数据的聚类情况）和最小生成树（修剪聚类树以保留对象之间的邻域关系）。

2.3.2 子空间或投影方法

这类方法与原型算法不同，试图确定数据中哪些组件重要，用减少的组件集描述数据，因此需要更多对象。常见的方法有：
- 卡尔胡宁 - 勒维变换 ：一种线性映射方法，通过主成分描述数据。通过确定特征值和特征向量，得到数据的描述，特征值越大，该方向对数据描述越重要。
- 奥贾神经元 ：也是一种线性映射方法，是卡尔胡宁 - 勒维变换的神经变体，使用学习算法来找到主成分。
- 萨蒙投影 ：尽可能保留对象之间的所有邻域关系。
- 自组织映射 ：不仅是向量量化方法，也是非线性投影方法，通过使用固定的二维原型向量网格保留邻域关系，将数据映射到二维空间，揭示数据可能的子空间属性。
- 自联想前馈神经网络 ：能够将高维空间投影到任意低维空间。使用具有“瓶颈”的前馈神经网络，通过自联想学习将高维输入压缩到瓶颈层，进行全局映射，与自组织映射保留局部邻域关系不同。

2.3.3 密度估计方法

这是最复杂的一类方法，需要大量对象来估计数据中的密度。常见方法有：
- 径向基函数 ：使用高斯函数作为隐藏单元的激活函数，输出是隐藏层高斯函数的线性组合，实现对数据的全局密度估计，比帕曾方法复杂度低。
- 帕曾方法 ：使用位于对象上的高斯核的叠加作为密度估计，通过线性求和组合这些核来找到对象的概率密度函数，非常准确，但在高维空间估计时需要大量对象。
- 玻尔兹曼神经网络 ：一种随机网络，对象输入网络，学习后网络中的神经元表示对象的概率分布，但只能处理二进制编码输入。

在选择分析方法时，需考虑可用对象的数量。若对象较少，向量量化可能比帕曾估计更有信息价值。不同方法适用于不同的分析需求，原型向量方法适合研究数据的聚类情况，投影方法用于将数据映射到低维空间以了解数据位置，密度估计方法则用于了解数据的概率密度分布。下一步是确定数据的可分离性，数据越可分离，解决问题所需的分类器越简单。

2.4 数据可分离性分析

2.4.1 可视化方法

为了研究数据的可分离性，可以将高维空间中的数据映射到二维平面上，通过可视化数据的散布情况来获取其可分离性的见解。这种方法能让我们直观地检查高维空间，从而选择合适的分类器。例如，萨蒙投影就是一种可以尽可能保留对象之间邻域关系的映射方法，它有助于在二维平面上呈现高维数据的结构，让我们更清晰地看到数据是否容易分离。

2.4.2 分析流程

数据可分离性分析的流程如下：

graph LR
    A[获取数据] --> B[选择映射方法]
    B --> C[将高维数据映射到二维平面]
    C --> D[可视化数据散布]
    D --> E[判断数据可分离性]
    E --> F[选择合适分类器]

• 获取数据 ：收集需要分析的数据集。
• 选择映射方法 ：根据数据特点和分析需求，选择如萨蒙投影、自组织映射等合适的映射方法。
• 将高维数据映射到二维平面 ：运用所选映射方法，把高维数据转换为二维表示。
• 可视化数据散布 ：通过绘图等方式展示二维平面上的数据分布。
• 判断数据可分离性 ：观察可视化结果，判断数据在二维平面上是否明显分开。
• 选择合适分类器 ：根据数据可分离性，选择适合的分类器。

2.5 分类器选择

2.5.1 分类器选择的依据

在实际应用中，很多分类器在进行可分离性分析后都能解决分类问题。此时，可以通过估计分类器的可靠性或置信度来进行选择。置信度低，即正确分类概率低的分类器很可能被排除。比较不同分类器的置信度或测试集性能时，需要一个独立的测试集，但通常这个测试集并不容易获取，因此会使用验证集来代替。

2.5.2 验证集的生成

为了生成验证集，可以采用以下步骤：
1. 数据划分 ：将原始数据集按照一定比例划分为训练集和验证集。例如，可以将 70%的数据作为训练集，30%的数据作为验证集。
2. 随机选择 ：随机从原始数据集中选择一定数量的数据作为验证集，剩余数据作为训练集。
3. 分层抽样 ：如果数据集中存在不同类别，可以按照类别进行分层抽样，确保验证集中各类别的比例与原始数据集相似。

2.5.3 分类器选择流程

graph LR
    A[准备数据集] --> B[生成验证集]
    B --> C[训练多个分类器]
    C --> D[在验证集上评估分类器]
    D --> E[比较分类器的置信度或性能]
    E --> F[选择置信度高的分类器]

• 准备数据集 ：收集并整理需要用于分类的数据集。
• 生成验证集 ：按照上述方法生成验证集。
• 训练多个分类器 ：使用训练集对多个不同的分类器进行训练。
• 在验证集上评估分类器 ：将验证集输入到训练好的分类器中，计算分类器的准确率、召回率等性能指标。
• 比较分类器的置信度或性能 ：根据评估结果，比较不同分类器的置信度或性能。
• 选择置信度高的分类器 ：选择置信度高、性能好的分类器作为最终的解决方案。

2.6 分类器训练与泛化行为跟踪

2.6.1 过拟合问题

神经网络分类器能够解决几乎任何分类问题，但在训练过程中容易出现过拟合现象。如果训练时间过长，分类器可能在训练集上表现很好，但在新数据上的泛化能力很差。

2.6.2 泛化行为跟踪方法

为了避免过拟合，可以在训练过程中跟踪网络的泛化行为。泛化行为很大程度上取决于分类器的复杂度（如隐藏单元的数量）与训练数据的关系。可以通过以下方法跟踪泛化行为：
1. 定期评估 ：在训练过程中，定期使用验证集对分类器进行评估，记录验证集上的性能指标。
2. 绘制学习曲线 ：将训练集和验证集的性能指标随训练轮数的变化绘制成曲线，观察曲线的变化趋势。如果训练集性能不断提高，而验证集性能开始下降，可能意味着出现了过拟合。
3. 提前停止训练 ：当验证集性能不再提高或开始下降时，停止训练，选择此时的分类器作为最终模型。

2.6.3 训练流程

graph LR
    A[准备训练集和验证集] --> B[初始化分类器]
    B --> C[开始训练]
    C --> D[定期在验证集上评估]
    D --> E{验证集性能是否提高?}
    E -- 是 --> C
    E -- 否 --> F[停止训练]
    F --> G[得到最终分类器]

• 准备训练集和验证集 ：将数据集划分为训练集和验证集。
• 初始化分类器 ：设置分类器的初始参数。
• 开始训练 ：使用训练集对分类器进行训练。
• 定期在验证集上评估 ：在训练过程中，定期使用验证集评估分类器的性能。
• 判断验证集性能是否提高 ：根据评估结果，判断验证集性能是否继续提高。
• 停止训练 ：如果验证集性能不再提高，停止训练。
• 得到最终分类器 ：选择停止训练时的分类器作为最终模型。

2.7 分类器稳定性分析

2.7.1 稳定性的重要性

在分类器训练过程中，其决策区域会频繁变化。分类器的稳定性可以用来描述这种变化情况，更稳定的分类器在解决特定问题时表现更好。

2.7.2 稳定性评估方法

可以通过以下方式评估分类器的稳定性：
- 多次训练 ：对同一分类器进行多次训练，每次使用相同的训练集和参数设置。
- 比较决策区域 ：比较每次训练后分类器的决策区域，观察其变化程度。决策区域变化越小，分类器越稳定。
- 计算稳定性指标 ：可以定义一些稳定性指标，如决策区域的重叠率等，来量化分类器的稳定性。

2.7.3 提高稳定性的方法

为了提高分类器的稳定性，可以采取以下措施：
- 增加训练数据 ：更多的训练数据可以使分类器学习到更全面的特征，减少决策区域的波动。
- 正则化 ：在训练过程中使用正则化方法，如 L1 或 L2 正则化，限制模型的复杂度，提高稳定性。
- 集成学习 ：使用多个分类器进行集成，如随机森林、梯度提升等，通过综合多个分类器的结果来提高稳定性。

综上所述，在使用神经网络进行数据分析和分类时，需要综合考虑数据复杂度、可分离性、分类器选择、泛化行为和稳定性等多个方面。通过合理选择分析方法和训练策略，可以提高分类器的性能，得到更准确、稳定的分类结果。