14、饱和量子汉明界的量子纠错码类

饱和量子汉明界的量子纠错码类

1. 引言

自Shor证明可以创建量子纠错码以来，人们一直在努力创建高效的量子纠错码。Calderbank和Shor以及Steane展示了将某些经典纠错码转换为量子纠错码的方法，Laflamme等人和Bennett等人则提出了能纠正1个错误、将1个量子比特（qubit）编码到5个量子比特中的编码方案。

假设要将$k$个量子比特编码到$n$个量子比特中，码字空间是$2^k$维的子空间，属于$2^n$维的希尔伯特空间。原始$2^k$个基态的编码$|\psi_i\rangle$构成码字空间的基。当发生相干错误时，码态会通过线性变换$M$改变：
$|\psi_i\rangle \sim M|\psi_i\rangle$

这里不要求$M$是酉矩阵，这样就能纠正非相干错误。通常，只考虑作用于不超过$t$个量子比特的错误，作用于恰好$t$个量子比特的错误称为长度为$t$的错误。长度为1的错误只作用于二维希尔伯特空间，所以单量子比特错误的空间是$M_2$（2×2矩阵空间）。

错误纠正过程可以用酉线性变换来建模，该变换将错误状态$M|\psi_j\rangle$与辅助量子比特$|A\rangle$纠缠，并将组合变换为纠正后的状态：
$(M|\psi_j\rangle)\otimes|A\rangle \sim |\psi_j\rangle\otimes|AM\rangle$

映射$M \to |AM\rangle$必须是线性的，但不一定是一对一的。如果是单射，则称该码为非简并码；否则为简并码。简并码中，线性独立的矩阵对码字的作用是线性相关的；而非简并码中，作用于码字的所有错误都会产生线性独立的状态。Shor的