25、非负向量余弦相似度邻域中三角不等式与维度投影的比较

非负向量余弦相似度邻域中三角不等式与维度投影的比较

在许多应用领域，如文本挖掘、生物医学工程和化学等，常常需要使用余弦相似度来寻找与给定对象最相似的对象（最近邻），而这些对象通常由非负向量表示。当分析的向量维度较高时，确定最近邻是一项具有挑战性的任务。本文将探讨如何高效地确定非负向量的余弦相似度邻域，并比较三角不等式和维度投影这两种方法的效率。

1. 引言

在众多应用中，余弦相似度被广泛用于衡量对象之间的相似性，对象通常用非负向量表示。当向量维度较高时，确定最近邻变得困难。对于距离度量，可以利用三角不等式快速排除大量肯定不是最近邻的对象。虽然余弦相似度不满足三角不等式，但最近的研究表明，确定两个向量的余弦相似度问题可以转化为确定它们归一化形式的欧几里得距离问题。这一等价性使得可以应用三角不等式来高效地确定余弦相似度邻域，也可以使用向量在某一维度上的投影来实现这一目的。本文将证明，在确定非负向量的邻域时，三角不等式作为一种剪枝工具，其效率不低于投影方法。

2. 欧几里得距离与余弦相似度

• 向量定义 ：考虑具有相同维度（设为 $n$）的向量，向量 $u$ 可表示为 $[u_1, \ldots, u_n]$，其中 $u_i$ 是向量 $u$ 的第 $i$ 个维度的值。若向量的所有维度均非负，则称该向量为非负向量。
• 欧几里得距离 ：向量 $u$ 和 $v$ 之间的欧几里得距离记为 $Euclidean(u, v)$，定义为 $\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(u_i - v_i)^2}$。欧几里得距离满足三角不等式，即对于任意向量 $u$、$