新背包（多种做法）

清北省选培训题目

 

有种物品，每种物品有自己的价值wi和体积vi，以及库存件数ci。

有次m询问，每次询问给定一种物品，询问除开物品ki之外，用剩下的物品装一个容量为ti的背包能获得的最大价值。

 

n 1000

m 1e5

t,v 1000

c 1000

 

 

T：指容量

做法一：背包dp预处理

对于每一次询问，去除k位置，t的空间大小，最多可以多少价值。

我们发现，实际上每次只去除一个位置，我们可以考虑维护一个前缀，每个前缀一个数组，表示在前几个物品在t的大小内可以组成的最大的价值。

后缀同理。

对于每一次询问，枚举左边分多少空间，计算最大价值。

复杂度O（n*T*c[i] +m*T） 写单调队列优化，可以去掉c【i】

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1005;
const int M=300005;

int n,m;

int v[N],w[N],c[N];
int k[M],t[M],T;

int qz[1005][1005],hz[1005][1005],f[1005];

int main()
{
	freopen("knapsack.in","r",stdin);
	freopen("knapsack.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&c[i]);
	scanf("%d",&m);
	for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&k[i],&t[i]),T=max(T,t[i]),k[i]++;
	
	memset(f,0,sizeof(f));
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=T;j>=0;j--) 
			for (int num=1;num<=c[i];num++) 
				if (j+num*v[i]<=T) f[j+num*v[i]]=max(f[j+num*v[i]],f[j]+num*w[i]);
				else break; 
		for (int j=0;j<=T;j++) qz[i][j]=f[j];
	}
	
	memset(f,0,sizeof(f));
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		for (int j=T;j>=0;j--)
			for (int num=1;num<=c[i];num++)
				if (j+num*v[i]<=T) f[j+num*v[i]]=max(f[j+num*v[i]],f[j]+num*w[i]);
				else break;
		for (int j=0;j<=T;j++) hz[i][j]=f[j];
	}
	int ans,pos;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		ans=0;
		pos=k[i];
		for (int j=0;j<=t[i];j++) ans=max(ans,qz[pos-1][j]+hz[pos+1][t[i]-j]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

 

2:类cdq分治

预处理每一个位置去掉之后的最大值，然后分治做下去。

一共log n层，每层用T*n*c的时间,O（1e8）左右，写单调队列优化可到O（T*n*log c）

 

分治本质：对于这道题来说，如果暴力预处理去掉每一个位置最大值，对于每一个位置我们都需要加入n个数，每加入一个都需要T*c i的时间 ，总共n* （n*T*c）承受不了

但是实际上，我们可以发现很多次加入是没有必要的，对于前半部分，后半部分的信息没有区别，只加入一次就好。那么我们就用分治。由此看，感觉分治就像是通过分类，来简化时间复杂度吧！ 

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1005;
const int M=300005;

int n,m;

int v[N],w[N],c[N];
int k[M],t[M],T;

int f[N][N],g[N],tmp[N][N],cnt;

int vv[N*20],ww[N*20],pre[N*20],head[N],tot;

void add(int k)
{
	for (int i=head[k];i;i=pre[i])
	{
		for (int j=T-vv[i];j>=0;j--) g[j+vv[i]]=max(g[j+vv[i]],g[j]+ww[i]);
	}
}
 
void work(int l,int r)
{
	if (l==r) 
	{
		for (int i=1;i<=T;i++) f[l][i]=g[i];
		return ; 
	}
	++cnt;
	for (int i=1;i<=T;i++) tmp[cnt][i]=g[i];//注意缓存系统不能只有一个，因为log n，层是需要log n层的缓存 
	int mid=(l+r)>>1;
	for (int i=mid+1;i<=r;i++) add(i);
	work(l,mid);
	for (int i=1;i<=T;i++) g[i]=tmp[cnt][i];
	for (int i=l;i<=mid;i++) add(i);
	work(mid+1,r);
	cnt--;
}




void add(int u,int v,int w)
{
	vv[++tot]=v;ww[tot]=w;pre[tot]=head[u];head[u]=tot;
}
void init()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int j=1;
		while (j<c[i]) 
		{
			add(i,j*v[i],j*w[i]);
			c[i]-=j;
			j<<=1;
		}
		add(i,c[i]*v[i],c[i]*w[i]);
	}
}




int main()
{
	freopen("knapsack.in","r",stdin);
	freopen("knapsack.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&c[i]);
	scanf("%d",&m);
	for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&k[i],&t[i]),T=max(T,t[i]),k[i]++;
	init();
	work(1,n);
	for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",f[k[i]][t[i]]);
	return 0;
}