题目54:百钱百鸡 一只公鸡值5元,一只母鸡值3元,而1元可买3只小鸡,用百元买百鸡。现有n元钱,想买n只鸡。问有多少种买法?(钱要用完)

百鸡问题解法:Python实现多样购买方案
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题目转载:http://python.wzms.com/s/1/50

题目描述:

百鸡问题:一只公鸡值5元,

一只母鸡值3元,而1元可买3只小鸡,用百元买百鸡。

现有n元钱,想买n只鸡。

问有多少种买法?(钱要用完)

某种鸡可以不买。

输入格式:

一个数

输出格式:

一个数


代码:

n = int(input())
count = 0
for rooster in range(n + 1):
    for hen in range(n + 1):
        for chick in range(n + 1):
            if (5*rooster + 3*hen + chick/3 == n) and (rooster + hen + chick == n):
                count += 1
                # 如果需要,可以打印出每种组合:
                # print(f'公鸡:{rooster},母鸡:{hen},小鸡:{chick}')
print(count)

运行结果:

打印出每种组合:

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<think> 根据题,需要满足两个条件: 1. 的总数量为100只:即公鸡 + 母鸡 + 小鸡 = 100 2. 的总数为100:即5*公鸡数量 + 3*母鸡数量 + (小鸡数量)/3 = 100 注意:小鸡13只,所以每只小鸡相当于1/3。 设: 公鸡数量为x,母鸡数量为y,小鸡数量为z 则: x + y + z = 100 ...(1) 5x + 3y + z/3 = 100 ...(2) 由(1)式得:z = 100 - x - y,代入(2)式: 5x + 3y + (100 - x - y)/3 = 100 两边同时乘以3消去分母: 15x + 9y + (100 - x - y) = 300 化简:14x + 8y = 200 两边除以2:7x + 4y = 100 因此,我们得到:7x + 4y = 100 由于的数量必须是整数,所以x和y都是整数,且x≥0,y≥0,z≥0(题目要求每种至少1只?但题目中并没有明确要求每种至少1只,所以可以包括0?然而,题描述中写的是“三种每种至少要有1只”,所以x≥1, y≥1, z≥1。但注意,在引用[2]和[5]中,有出现公鸡0只的情况,所以需要确认题目要求。根据用户本次题描述,并没有说至少要有1只,而引用[1]中明确说了“三种每种至少要有1只”,但引用[2][3][4][5]中没有这个限制。用户本次题描述是:“编程求解题的所有方案,公鸡51只,母鸡31只,小鸡13只”,没有提到至少1只,因此我们按照可以0只来考虑(但总数为100,且100)。 因此,我们只需要求非负整数解。 由7x + 4y = 100,可得: y = (100 - 7x) / 4 因此,100-7x必须是4的倍数,且非负。 确定x的范围: 由于7x ≤ 100,所以x≤14(取整数,x最大为14) 同时,x必须使得100-7x能被4整除,且y非负(即100-7x≥0 → x≤14)。 我们枚举x从0到14,找出符合条件的x: 条件:100-7x是4的倍数,即(100-7x) mod 4 ==0。 因为100 mod4=0,所以只需要 -7x mod4=0,即7x mod4=0,而7 mod4=3,所以3x mod4=0,即x必须是4的倍数。 因此x可以取0,4,8,12(因为x=16超出范围) 验证: x=0: 7*0+4y=100 -> 4y=100 -> y=25,则z=100-0-25=75。总数:5*0+3*25+75/3=0+75+25=100,符合。 x=4: 7*4+4y=100 -> 28+4y=100 -> 4y=72 -> y=18,则z=100-4-18=78。总数:5*4+3*18+78/3=20+54+26=100,符合。 x=8: 7*8+4y=100 -> 56+4y=100 -> 4y=44 -> y=11,则z=100-8-11=81。总数:5*8+3*11+81/3=40+33+27=100,符合。 x=12: 7*12+4y=100 -> 84+4y=100 -> 4y=16 -> y=4,则z=100-12-4=84。总数:5*12+3*4+84/3=60+12+28=100,符合。 因此,共有4种方案。 编程实现:我们可以用循环枚举公鸡的数量,然后根据方程计算出母鸡的数量,再计算小鸡的数量,再验证数是否满足(注意小鸡数量必须是3的倍数吗?因为小鸡13只,所以小鸡的数量必须是3的倍数吗?注意:题目中并没有要求小鸡的数量必须是整数,但是小鸡的数量必须是整数只,而且总数要求100。在方程中我们使用了z/3,所以只要z是整数,那么z/3可能是小数,但是题目要求总100,所以必须满足5x+3y+z/3=100,且z为整数。然而,上述解都是整数,而且z/3恰好是整数(75/3=25,78/3=26,81/3=27,84/3=28),所以满足。 但是,如果我们用循环枚举,我们不需要先推导出x必须是4的倍数,而是枚举所有可能的x(0到14),然后计算y=(100-7x)/4,然后判断y是否为整数且非负,同时z=100-x-y也为非负,并且z必须是整数(这里自动满足),然后再验证总数(其实方程已经满足,因为由方程推导而来,但可能因为除取整题,所以最好再验证一下)。 然而,我们也可以直接使用三重循环,但是效率较低。考虑到公鸡最多20只(因为5*20=100),母鸡最多33只(3*33=99),小鸡最多100只(因为总共100只),但这样循环次数是20*33*100=66000次,可以接受。但是我们可以优化为两重循环。 这里我们采用两种方: 方1:利用方程7x+4y=100,枚举x(0到14),然后计算y,判断y是否为整数且非负,再计算z,然后验证z非负。 方2:枚举公鸡的数量x(0到20),母鸡的数量y(0到33),然后计算z=100-x-y,如果z非负且满足5x+3y+z/3==100(注意z/3可能是小数,所以用浮点数?但为了避免浮点数误差,我们可以将方程两边乘以315x+9y+z=300,然后验证15x+9y+z==300且z>=0。 我们选择方2,因为更直接,且避免了解方程。 注意:z必须是整数,并且由于z=100-x-y,所以自动是整数。但是要注意,在计算中,我们使用整数运算,所以15x+9y+z==300。 步骤: 1. 初始化方案列表 2. 循环x从0到20(包括20) 3. 循环y从0到33(包括33) 4. 计算z = 100 - x - y 5. 如果z>=0 且 5*x+3*y+z/3==100 且 z%3==0(因为小鸡的数量必须是3的倍数?不,题目并没有说小鸡只能按3,但是题目小鸡13只,那么如果小鸡的数量不是3的倍数,那么总数就不一定是整数。但题目要求100,所以总数必须是整数,因此小鸡的数量必须是3的倍数。然而,我们也可以不检查,因为z/3如果不是整数,那么等式5*x+3*y+z/3=100就不可能成立(左边不是整数,右边是整数)。因此,我们可以用整数条件:15*x+9*y+z==300(因为两边乘以35x*3+3y*3+z=15x+9y+z=300)这样避免浮点数运算。 所以条件改为:5*x+3*y+z/3==100 等价于 15*x+9*y+z==300(因为两边乘以3,且z是整数,所以成立)。 因此,我们使用整数条件:15*x + 9*y + z == 300,其中z=100-x-y。 或者,我们也可以直接写:15*x+9*y+(100-x-y)==300 -> 14*x+8*y+100=300 -> 14x+8y=200 -> 7x+4y=100,所以条件可以简化,但是为了清晰,我们还是用15x+9y+z==300。 但是注意:如果z不是3的倍数,那么用整数条件15x+9y+z==300已经可以正确判断,因为z是整数,所以没有误差。 因此,我们不必要求z是3的倍数,因为在等式15x+9y+z=300中,如果z不是3的倍数,但等式成立,那么总5x+3y+z/3=(15x+9y+z)/3=300/3=100,所以等式成立就自动满足。所以不需要额外检查z%3==0。 但是,我们也可以直接使用5x+3y+z/3==100,但这样涉及浮点数,可能因为精度题导致错误。所以使用整数条件更安全。 所以程序步骤: 1. 初始化计数为0 2. 循环x从0到20(因为公鸡最多20只) 3. 循环y从0到33母鸡最多33只,因为3*33=99<100,最多可以33母鸡,再多就超过100了) 4. 令z = 100 - x - y 5. 如果z<0,则跳出内层循环(因为y再增大z更小,所以可以跳出,或者继续)或者继续(因为y增大x不变,z会减少,所以当z<0时,可以跳出内层循环,因为y再增大z更小) 6. 检查:15*x + 9*y + z == 300 (即5x+3y+z/3=100的等价整数形式) 7. 如果满足,则输出方案,计数加1 或者,我们可以优化内层循环的范围:因为z>=0,所以y<=100-x,同时y<=33(因为数限制,母鸡最多33只,但这里x已经用了5x,所以母鸡数量y还可以再调整,不过我们循环到33已经可以覆盖,因为y最大为33(当x=0时,y最大33,再大就超过100了)。所以y的循环条件可以是0到min(33,100-x)(因为z=100-x-y>=0,所以y<=100-x)。 因此,我们可以这样写: for (x=0; x<=20; x++) for (y=0; y<=min(33,100-x); y++) // 注意:100-x>=0,且y<=33 但是,我们也可以写成y<=33且y<=100-x,在循环条件中设置。 下面我们用C语言来实现。 注意:题目要求打印所有方案,并打印有多少。 代码: </think> # 题求解 是一个经典的数学题:公鸡51只,母鸡31只,小鸡13只,要用100100只鸡公鸡母鸡小鸡多少只?下面我将用编程方解决这个题。 ## 题分析 设公鸡数量为 $x$,母鸡数量为 $y$,小鸡数量为 $z$,则有以下方程: 1. $x + y + z = 100$ (总数为100只) 2. $5x + 3y + \frac{z}{3} = 100$ (总花费为100) 将第二个方程两边乘以3消去分母: $$15x + 9y + z = 300$$ 代入第一个方程: $$15x + 9y + (100 - x - y) = 300$$ 化简得: $$14x + 8y = 200$$ 进一步简化为: $$7x + 4y = 100$$ ## C语言实现 ```c #include <stdio.h> int main() { printf("方案:\n"); printf("公鸡 母鸡 小鸡\n"); int solutions = 0; // 公鸡最多20只(5*20=100) for (int x = 0; x <= 20; x++) { // 母鸡最多33只(3*33=99) for (int y = 0; y <= 33; y++) { int z = 100 - x - y; // 小鸡数量 // 检查花费是否为100(避免浮点运算) if (z >= 0 && 15 * x + 9 * y + z == 300) { printf("%2d %2d %2d\n", x, y, z); solutions++; } } } printf("\n共有%d种购方案\n", solutions); return 0; } ``` ## 运行结果 ``` 方案: 公鸡 母鸡 小鸡 0 25 75 4 18 78 8 11 81 12 4 84 共有4种购方案 ``` ## 方案解释 1. **方案1**:0只公鸡,25母鸡,75小鸡 花费:$0×5 + 25×3 + 75/3 = 0 + 75 + 25 = 100$ 2. **方案2**:4只公鸡18只母鸡,78只小鸡 花费:$4×5 + 13 + 78/3 = 20 + 54 + 26 = 100$ 3. **方案3**:8只公鸡11母鸡,81小鸡 花费:$8×5 + 11×3 + 81/3 = 40 + 33 + 27 = 100$ 4. **方案4**:12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡 花费:$15 + 4×3 + 84/3 = 60 + 12 + 28 = 100$ ## 优化说明 程序通过以下优化提高了效率: 1. 公鸡数量范围限制在0-20(100最多20只) 2. 母鸡数量范围限制在0-33100最多33只) 3. 使用整数运算避免浮点精度题 4. 小鸡数量通过$z = 100 - x - y$直接计算 这个题的解空间有限,通过穷举可以高效地找到所有可行方案。题展示了如何将实际题转化为数学方程,并通过编程求解[^1][^2]。
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