AGC040 B Two Contests 最大最小傻傻分不清楚~

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等价命题：

给定一些整数区间。现在要把这些区间分割成两个分割集合A和B，然后求$$\underset{A,B}{\max }\left|(\bigcap _{r\in A}r)\cup (\bigcap _{r\in B}r)\right|$$
先找出区间左端点最大的区间s和右端点最小的区间t
（1）若s,t同属于一个分割集合，那么该分割集合不管再加什么，其交集出来的结果都跟仅含有s,t的区间长度相同。所以这时这个集合除了放s,t外，可以任意放其他区间都不会改变这个分割集合的最终区间长度。那么另一个分割集合显然取所有区间最大的放入，即可算出当前情况下的最大值。$O(n)$
（2）若s,t分属两个分割集合，设s所在分割集合为A，t所在分割集合为B，那么A中的任意区间的右端点到s的左端点为有效区间，设
$$a_i=\max (r_i-l(s)+1,0)$$那么A中所有区间的交集的区间大小就是A中所有区间所对应$a_i$的最小值。
同理可设
$$b_i=\max (r(t)-l_i+1,0)$$
表示B中各个区间的有效个数。B中所有区间的交集的区间大小就是B中所有区间所对应$b_i$的最小值。
总结来看就是求哪个分割下，两个集合的$a_i$的最小值和$b_i$的最小值的和最大。
如果一个一个枚举就变成了$O(n^2)$来不及，这里我的做法是把$a_i$和$b_i$做成pair，然后全部塞进vector里面，对vector从小到大排序后，开始依次遍历vector：记录$b_i$的最小值，同时$a_i$是排好序的，所以能确定当前$a_i$是$i$之后所有$a_i$的最小值，很自然的，我们可以把$i$之后的作为分割集合A，因为最小值就是$a_i$那么$i-1$及这之前的看做分割集合B，又因为$b_i$的最小值我们一直在记录，所以每次循环能立刻取到。排序复杂度为$O(n\log n)$，最后的枚举为$O(n)$，整体压缩在$O(n\log n)$

我提交的源代码

下面是cpp风格的伪代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//省略一些宏
//---------------------
#define MAXN 100005
#define INF 1000000007
//---------------------
ll n;
ll l[MAXN],r[MAXN];
vector<pll> arr;
 
int main(){
 
	cin >> n;
	REP(i,n) cin >> l[i] >> r[i];
 
	ll res = 0;
 
	ll lmax = 0;
	ll rmin = INF;
	ll nmax = 0;
	REP(i,n) {
		lmax = max(lmax,l[i]); 
		rmin = min(rmin,r[i]); 
		nmax = max(nmax,r[i]-l[i]+1);
	}
 
	res = max(rmin-lmax+1,0ll) + nmax;
 
	REP(i,n){
		arr.PB(pll(max(r[i]-lmax+1,0ll),max(rmin-l[i]+1,0ll)));
	}
 
	sort(ALL(arr));
 
	ll minb = INF;
	REP(i,n-1){
		ll a = arr[i+1].P1, b = arr[i].P2;
		minb = min(minb,b);
		res = max(res,a+minb);
	}
 
	PRT(res);
 
	return 0;
}

反思

上述思路由题解提供。一开始一直想用dp，滑动窗口，二分查找之类的骚操作，结果是带有分类讨论的贪心算法和前缀和，深刻感觉自己能力不足。之后遇到这样类似的思维题要善于简化题目和思维回路，多动笔找一找等价的题目表达为上策。