算法编程题-数组中两个数字的最大按位与、按位或、按位异或

题目描述

之前在牛客网上刷面经的时候，看到有个同学面试腾讯的时候，遇到了这样的一道算法题，就是给定一个数组，然后在数组中选取两个数字，使得这两个数字的按位与值最大。而求两个数字异或值最大在leetcode上也是有原题的leetcode 421。所以，总结了一下这类题型，分别是最大按位与、最大按位或、最大按位异或。

最大按位与

思路分析

选取两个数，使其按位与最大，那当然是近可能使得结果的高位为1，所以这道题目需要从高位往低位考虑。在从高位往低位考虑的过程中，如果在某一位上，数组中所有数字在这一位上为1的数量超过了2，那么一定可以选取两个数，使其按位与的结果在这一位上为1，那么其实这一个位上不为1的数字可以不用考虑了，这样就相当于删除了数组中的部分数字。但是在这一位上为1的数字数量少于2，则意味着无法选出两个数字使得按位与的结果在这一位上为1，此时继续往低位考虑即可。

示例代码

func MaxArrayAND(arr []int) int {
	ans := 0
	n := len(arr)
	deleted := make([]byte, n)
	for k := 30; k >= 0; k-- { // 第30位为符号位
		// 先统计该位上为1的数字个数
		count := 0
		for i, num := range arr {
			if deleted[i] == 0 && (num & (1 << k)) > 0 {
				count++
			}
		}
		if count < 2 {  // 继续往低位
			ans = 2 * ans
			continue
		}
		ans = 2 * ans + 1
		// 将为0的数字标记为删除
		for i, num := range arr {
			if (num & (1 << k)) == 0 {
				deleted[i] = 1
			}
		}
	}
	return ans
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度: $O(n)$

最大按位或

思路分析

在一个数组中，求两个元素的最大按位或，暂时没有想到高效的办法，先写一个暴力遍历的方法，有知道的同学欢迎在评论区讨论。我觉得按位或难以处理的原因在于，两数按位或的结果，某位为1，此时这两个数在那一个位上的结果有三种可能性，难以区分讨论。

示例代码

func MaxOR(arr []int) int {
	n := len(arr)
	ans := 0
	for i := 0; i < n; i++ {
		for j := i + 1; j < n; j++ {
			ans = max(ans, arr[i] | arr[j])
		}
	}
	return ans
}

复杂度分析

• 时间复杂度分析：$O(n^2)$
• 空间复杂度分析：$O(1)$

最大按位异或

思路分析

还是从高位到低位考虑，各位是否能够为1。首先哈希表记录所有数字从当前位到最高位的部分，然后假设当前位能够取到1，将当前结果与所有数字从当前位到最高位部分 按位异或，如果结果在哈希表中，说明当前位能够取到1，并且不会影响之前高位取到1的结果。这利用了异或运算的一个性质，如下：
$$a=b\oplus c\leftrightarrow a\oplus c=b$$

示例代码

func MaxArrXOR(arr []int) int {
	ans := 0
	for k := 30; k >= 0; k-- {  // 第三十位为符号位
		seen := make(map[int]struct{}, 0)
		for _, num := range arr {
			seen[num >> k] = struct{}{}
		}
		ans = 2 * ans + 1
		var found bool
		for _, num := range arr {
			// 利用异或的性质，确定当前位为1是否可以做到
			if _, ok := seen[(num >> k) ^ ans]; ok{
				found = true
				break
			}
		}
		if !found {
			ans--
		}
	}
	return ans
}

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

参考

求数组两个元素与(&)运算最大值，异或(^)运算最大值