matlab之数值微积分

最新推荐文章于 2024-05-24 16:07:48 发布

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本文深入探讨了多项式的微分与积分，介绍了MATLAB中用于计算多项式微分与积分的函数，如polyval(), roots(), polyder(), polyint()等，并详细讲解了数值微分与积分的实现方法，包括diff(), trapz()等函数的应用。此外，还介绍了如何使用MATLAB的FunctionHandles(@)来定义和使用自定义函数，以及如何通过integral(), integral2(), integral3()进行一维、二维和三维数值积分。

1.微分：

就是 $f'(x)$ 或者 $\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$ 。

（几何意义：切线方向）

1.1多项式的表示：polyval()

1.1.1多项式求值：polyval()

1.1.2多项式求根：roots()

例：roots([1,0,-3,1]).

1.1.3多项式相乘：conv()

例：z=conv([1,2,5],[1,3]);

1.2多项式的微分：polyder()

求x = 7 时的微分：

p = conv([20 -7 5 10],[4 12 -3]);
x = -2:0.01:1;
f = polyval(p,x);
pp = polyder(p);
ff = polyval(pp,x);
plot(x,f,'b--',x,ff,'r-')
legend('f({x})','f''({x})');

2.多项式积分

2.1 polyint()

注意，积分必须要另外给一个常数

3.数值的微分

3.1 differ()

可计算出每个值与前面的值的差异

策略：

clc;
clear;
h = 0.01;
x = 0 :h: 2*pi;
y = sin(x);
t = linspace(0,2*pi,12)
yy = cos(t);

m = diff(y)./diff(x);
ff = [1 m];
hold on;
plot(x,y,'b-',x,ff,'r--');
plot(t,yy,'ro');
hold off;
legend('sin({x})','sin''({x})');
set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi);
set(gca,'XLim',[0,2*pi])
set(gca,'YLim',[-1.2,2]);
set(gca,'YTick',-1:1:2);
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'})

4.二次、三次微分

%x^3的一次、二次微分：
x = -2:0.005:2;  y = x.^3;
m = diff(y)./diff(x);
m2 = diff(m)./diff(x(1:end-1));
plot(x,y,x(1:end-1),m,x(1:end-2),m2);
xlabel('x','FontSize',18);
ylabel('y','FontSize',18);
legend('f(x) = x^3','f''(x) ','f''''(x)','location','SouthEast');
set(gca,'FontSize',18);

5、数值积分

策略：计算f(x)与x轴之间图像的面积。

有两种方法：

方法一：

midpoint的作用：求出每一个举行中间的量，从而求出矩形的高。

再将每个矩形面积进行求和就能得到积分。

得到的结果有一定的偏差。

方法二：（trapz() )

trapz()函数相当于：

优化：

>> h = 0.05;
>> x = 0:h:2;
>> y = 4*x.^3;
>> s = h/3*(y(1)+2*sum(y(3:2:end-2))+4*sum(y(2:2:end))+y(end))

s =

    16

>>

比较：

6、Function Handles(@)

【function作为另一个function的输入】

先定义一个function：（注意与文件名同名）

function [y] = xy_plot(input,x)
    y = input(x);
    plot(x,y,'r--');
    xlabel('x');
    ylabel('function(x)');
end

命令行输入：

xy_plot(@sin,0:0.01:2*pi)

可得到正弦图形。

改变@sin为@cos @tan等可得到相应的图形。

integral()

>> y = @(x) 1./(x.^3-2*x-5);
>> integral(y,0,2)

ans =

   -0.4605

二元、三元：integral2() integral3()

>> f = @(x,y) y.*sin(x) + x.*cos(y);
>> integral2(f,pi,2*pi,0,pi)

ans =

   -9.8696

>> f = @(x,y,z) y.*sin(x) + z.*cos(y);
>> integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)

ans =

    2.0000

【注意integral2和integral3参数从最里层写起】