本文介绍了如何将一般形式的线性规划问题转换成标准形式，包括决策变量非负化、约束条件等式化及目标函数最大化，并通过一个具体例子详细解释了如何使用大M法来解决初始可行解的问题。
问题标准化
将一般形式的线性规划模型变为标准形式的三个步骤：
- 决策变量非负化
- 约束条件等式化
- 目标函数最大化
然后我们要寻找一个初始可行解，但是有些时候完成标准化的模型并不能照当初始解。如：
max
Z
=
x
1
+
x
2
{
2
x
1
+
x
2
≤
6
x
1
+
2
x
2
≥
8
x
2
=
2
\begin{array}{c} \max Z=x_{1}+x_{2} \\ \left\{\begin{array}{r} 2x_{1}+ x_{2} \leq 6 \\ x_{1}+2 x_{2} \geq 8 \\ x_{2} = 2 \end{array}\right. \end{array}
maxZ=x1+x2⎩⎨⎧2x1+x2≤6x1+2x2≥8x2=2
变换：
max
Z
=
x
1
+
x
2
{
2
x
1
+
x
2
+
x
3
=
6
x
1
+
2
x
2
−
x
4
=
8
x
2
=
2
\begin{array}{c} \max Z=x_{1}+x_{2} \\ \left\{\begin{array}{r} 2x_{1}+ x_{2} + x_{3}= 6 \\ x_{1}+2 x_{2} -x_{4}= 8 \\ x_{2} = 2 \end{array}\right. \end{array}
maxZ=x1+x2⎩⎨⎧2x1+x2+x3=6x1+2x2−x4=8x2=2
添加的
x
3
,
x
4
x_{3},x_{4}
x3,x4分别为松弛变量和剩余变量，但是此时无法找到一个合适的初始解，于是我们引入人工变量的概念：在已经是等式的条件下，为了凑得单位子矩阵人为加入的新变量，如果其值不为0，说明相应的条件没有被满足，故如果是可行解必须保证所有人工变量为0。添加的方法：
4. 如果原先是
≤
\leq
≤，左边加上非负松弛变量。
5. 如果原先是
≥
\geq
≥，左边减去非负剩余变量，再加上非负人工变量。
6. 如果原先是
=
=
=，左边加上非负人工变量。
7. 令在目标函数中的松弛和剩余变量系数为0，人工变量为
−
M
-M
−M
max
Z
=
x
1
+
x
2
−
M
1
x
5
−
M
2
x
6
{
2
x
1
+
x
2
+
x
3
=
6
x
1
+
2
x
2
−
x
4
+
x
5
=
8
x
2
+
x
6
=
2
x
i
≥
0
(
i
=
1
,
2...6
)
\begin{array}{c} \max Z=x_{1}+x_{2}-M_1x_{5}-M_2x_{6} \\ \left\{\begin{array}{r} 2x_{1}+ x_{2} + x_{3}= 6 \\ x_{1}+2 x_{2} -x_{4}+x_{5}= 8 \\ x_{2} +x_{6}= 2 \\ x_i \geq 0(i=1,2...6) \end{array}\right. \end{array}
maxZ=x1+x2−M1x5−M2x6⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x1+x2+x3=6x1+2x2−x4+x5=8x2+x6=2xi≥0(i=1,2...6)
M
M
M意为很大的整数。这就是所谓大M法。
扫一扫
6227
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
