梯度下降法学习总结

梯度下降法学习总结
本文深入探讨了梯度下降法在求解无约束优化问题中的应用,详细介绍了其核心概念、公式推导及特点,并指出其在实现简单、解决凸函数问题时的优势,同时也提到了求梯度耗时、局部最优等局限性。

梯度下降法学习总结

梯度下降法简介

梯度下降法是求解无约束优化问题的迭代算法,每一步要求解目标函数的梯度向量。
假设目标函数f(x)在实数域上具有一阶连续偏导数,无约束最优化问题为:

minxRnf(x)
。设x是目标函数极小值点。选取适当的初值x(0),不断迭代,更新x的值,直到梯度收敛/目标函数值收敛/x的值收敛。在迭代的每一步,以负梯度方向更新x的值(因为函数值沿负梯度方向下降最快)。
设第k此迭代值为x(k)f(x)x(k)附近一阶泰勒展开:
f(x)=f(x(k))+gTk(xx(k))

其中gk是ff(x)x(k)的梯度。
用以下方法求下一次迭代值:
f(x(k)+λk(gk))=minλ0f(x(k)+λ(gk))

求出使得f(x(k)+λk(gk))最小的λk后,令
x(k+1)=x(k)+λk(gk)

梯度下降法特点

优点:

实现简单;
目标函数是凸函数时,能达到全局最优。

缺点:

求梯度比较费时,收敛速度一般;
只能解无约束的优化问题;
目标函数非凸时,陷入局部最优。

迭代算法

输入:目标函数f(x),梯度函数g(x),计算精度ε
输出:f(x)极小值点x

  1. k=0;随机产生x(0)R
  2. 计算x(k)处的函数值f(x(k))
  3. 计算x(k)处的梯度值g(x(k));如果g(x(k))<ε,停止迭代,令x=x(k+1);否则,求λk,使得
    f(x(k)+λk(gk))=minλ0f(x(k)+λ(gk))
  4. x(k+1)=x(k)+λk(gk),计算x(k+1)处的函数值f(x(k+1));如果||f(x(k+1))f(x(k))||<ε 或者 ||x(k+1)x(k)||<ε,停止迭代;令x=x(k+1)
  5. 否则,令k=k+1,转3
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