10、稀疏信号处理中的追踪算法详解

稀疏信号处理中的追踪算法详解

在稀疏信号处理领域，我们常常会遇到求解一些优化问题的需求，而追踪算法在其中扮演着重要的角色。下面我们将详细介绍几种常见的追踪算法及其特点。

1. 稳定性分析

首先，我们定义 (d = \tilde{x} - x_0)，由于向量 (Ax_0) 和 (A\tilde{x}) 都与中心向量 (b) 的距离在 (\epsilon) 以内，所以有 (|Ax_0 - A\tilde{x}|_2 = |Ad|_2 \leq 2\epsilon)。同时，(d) 是一个稀疏向量，其非零元素最多为 (2s_0) 个，因为 (|d|_0 = |\tilde{x} - x_0|_0 \leq |x_0|_0 + |\tilde{x}|_0 \leq 2s_0)。

假设矩阵 (A) 对于 (2s_0) 满足 RIP 性质，对应的参数 (\delta_{2s_0} < 1)。利用该性质和方程 (5.17) 的下界部分，我们可以得到：
((1 - \delta_{2s_0})|d| 2^2 \leq |Ad|_2^2 \leq 4\epsilon^2)
进而得到稳定性结论：
(|d|_2^2 = |\tilde{x} - x_0|_2^2 \leq \frac{4\epsilon^2}{1 - \delta {2s_0}})
再结合互相关性对 (\delta_{2s_0}) 的限制，有：
(|\tilde{x} - x_0| 2^2 \leq \frac{4\epsilon^2}{1 - \delta {2s_0}} \leq \frac{4\epsilon^2}{1 - (2s_