概率统计中的矩

最新推荐文章于 2024-10-12 15:06:28 发布

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本文深入解析概率统计中的矩(moment)概念，包括原点矩、中心矩及标准矩的定义与计算公式，阐述其在信号处理中的应用，如RMS(均方根值)和标准差的计算。

在概率统计文献中经常会看到矩，因此本文总结了矩(moment)的基本概念和常用的计算公式。

参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)

$\mu _n = \int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^nf(x)dx$

上式是维基百科中矩的定义式，其中 $x$ 和 $c$ 是实数， $f(x)$ 是一个连续的实函数，如果 $x$ 来自一个概率分布，并且 $f(x)$ 是 $x$ 的概率密度函数，那么就称上式计算的结果为概率分布的 $n$ 阶矩。

实际中一般使用下面的离散形式，根据式中 $c$ 取值不同，可以导出原点矩和中心矩的概念。

$\mu _n = E[(X-c)^n]$

$\mu _n = E[X^n]$

$\mu _n = E[(X-E(X))^n]$

另外标准矩(standardised moment，又称为normalised n-th central moment)的定义如下

$\frac{\mu _n}{\sigma^n} = \frac{E[(X-c)^n]}{\sigma^n}$
其中 $\sigma=(E[(X-E(X))^2])^{\frac{1}{2}}$ 。

矩阶数	原点矩	中心矩	标准矩
一阶	$E(X)$ 一阶原点矩又称均值	一阶中心矩等于0
二阶	$E(X^2)$ 二阶原点矩又称均方值	$E[(X-E(X))^2]$ 二阶中心矩又称方差
三阶			$\frac{E[(X-E(X))^3]}{\sigma^3}$ 三阶标准矩又称偏度(skewness)
四阶			$\frac{E[(X-E(X))^4]}{\sigma^4}$ 四阶标准矩又称峭度(kurtosis)