10、概率分布与随机变量模拟

概率分布与随机变量模拟

1. 多元 von Mises–Fisher 分布

1.1 分布定义

一个方向变量 (X = (X_1, X_2, \cdots, X_n)) 在 ((n - 1)) 维单位球面上遵循多元 von Mises–Fisher 分布，记为 (X \sim vMF(x|\boldsymbol{\mu}, \kappa))，其联合密度函数为：
[f_X(x|\boldsymbol{\mu}, \kappa) = C_n(\kappa) \exp(\kappa \boldsymbol{\mu}^T x)]
其中，(\boldsymbol{\mu}) 是总体均值方向向量，满足 (\boldsymbol{\mu}^T \boldsymbol{\mu} = 1)；(\kappa \geq 0) 是围绕 (\boldsymbol{\mu}) 的集中度参数；归一化常数 (C_n(\kappa)) 为：
[C_n(\kappa) = \frac{\kappa^{\frac{n}{2} - 1}}{(2\pi)^{\frac{n}{2}} I_{\frac{n}{2} - 1}(\kappa)}]
这里 (I_{\nu}(\kappa)) 是一阶修正贝塞尔函数。

1.2 特殊情况

• 当 (n = 2) 时，von Mises–Fisher 分布退化为 von Mises 分布。
• 当 (n = 3) 时，称为 Fisher 分布，其归一化常数为 (C_3(\kappa) = \frac{\kappa}{2\pi (e^{\kappa} - e^{-\kappa})})。