26、自然数组生成与课程排课问题的计算模型

自然数组生成与课程排课问题的计算模型

自然数组生成算法

在自然数组生成方面，使用了酶促数值 P 系统来按特定顺序生成所有自然数的 n 元组。这一方法改进了之前在生成自然数 n 元组方面的已知结果。
- 变量初始化 ：通过程序 n1 −a + 3|n2 →1|a, n1 −b + 4|n2 →1|b, n1 −a + 3|n2 →1|s1, n1 + 3 −s2|n2 →1|s1 来设置变量 a 、 b 、 s1 、 s2 的初始值。
- 变量转移 ：程序 n1 + 3 + a|n2 →1|t 将 a 的值（等于 n5 ）转移到变量 t 。
- 值处理 ：若初始值 a1,1x1 + · · · + α5,1ξ5 + α6,1 为负，程序 n1 +3+e− 1 |n2 →1|e− 2 和 g −t|e− 2 →1|t 会将 t 的值转换为其相反数。
- 多项式计算 ：程序 n1 + 3 + ec 1,1|n2 →1|ec 2 将 e1,1 的值传递给 e2 ，激活多项式下一项的计算，此过程持续到多项式的最后一项计算完成。
- 求和操作 ：所有 m = 252 项计算完成后，通过程序 g −2βlt|ec l+1 →1|aux + 1|ef , 1 ≤l ≤252 进行求和。需注意，变量 aux 和 ef 中存储的是多项式 fQ 的相反值，目的是在后续步骤中选择 fQ 的正值作为输出。
- 结果处理 ：酶促变量 ec 253 激活程序 g −2β252t|ec 253 →1|aux + 1|ef ，将最后一项添加到变量 ef 和 aux 中，同时通过程序 2ec 253 →1|ec 254 + 1|ef 将其值赋予变量 ec 254 和 ef 。程序 aux|ef →1|fQ 用于将 aux 的值（包含多项式的值）转移到 fQ ，并将多项式的值与零进行比较。程序 −fQ|g →1|enum 确保存储在 enum 中的值为正。最后，通过程序 −(fQ +ec 254) →1|ef 和 enum+fQ →1|gc 清理变量 fQ 、 ec 254 、 enum 的值，程序 ec 254 →1|e1 将酶促变量 ec 254 转移到 e1 ，开始生成下一个 5 元组。

以下是自然数组生成过程的流程图：

graph TD
    A[初始化变量 a, b, s1, s2] --> B[转移 a 的值到 t]
    B --> C{初始值是否为负}
    C -- 是 --> D[转换 t 的值为相反数]
    C -- 否 --> E[继续]
    D --> E[激活多项式下一项计算]
    E --> F[计算所有项]
    F --> G[求和]
    G --> H[添加最后一项]
    H --> I[转移值到 fQ 并比较]
    I --> J[确保 enum 值为正]
    J --> K[清理变量值]
    K --> L[开始生成下一个 5 元组]

课程排课问题

课程排课问题是一个高度受限的组合问题，无法用确定性算法在多项式时间内解决。为解决该问题，提出了一种基于 DNA 自组装的计算模型。

问题描述

课程排课问题由一组教授特定课程的教师、一学期提供的课程集合、注册多门课程的学生列表以及固定数量的教室位置组成。目标是找到满足某些特定约束的可能排课方案。这里考虑的约束是：学生所选的不同课程不应安排在同一时间段。可以用二分图 G = (Vc, Vs, E) 来表示排课问题的要求，其中 Vc = {k1, k2, …, kn} 表示课程集， Vs = {s1, s2, …, sm} 表示学生集，边集 E 表示选课要求， (ki, sj) ∈E 表示学生 sj 选择课程 ki 。

DNA 自组装计算模型设计

为解决课程排课问题，构建了三个子系统：初始解空间生成系统 SINIT 、检测系统 ST INIT 和时间槽计数系统 SCNT 。具体算法步骤如下：
1. 初始解空间生成 ：给定五门课程，随机分配课程以形成初始课程解空间 Einit 。
2. 候选解空间形成 ：根据学生的要求形成候选解空间 E′init 。
3. 非可行解删除 ：根据课程信息从 E′init 中删除非可行解。
4. 时间槽计数 ：使用统计瓷砖计算可行解中使用的时间槽数量。
5. 最优解读取 ：将所有解读取到最优解空间。

以下是课程排课问题 DNA 自组装计算模型的步骤表格：
|步骤|操作|
| ---- | ---- |
|1|随机分配课程形成初始解空间 Einit |
|2|根据学生要求形成候选解空间 E′init |
|3|从 E′init 中删除非可行解|
|4|计算可行解的时间槽数量|
|5|读取所有解到最优解空间|

初始解空间生成子系统

• DNA 自组装模型 ：设 SINIT = <TINIT; gINIT; τ INIT> 为初始解空间生成系统，其中 TINIT 是初始解空间生成系统所需的所有瓷砖集合，其绑定域集合为 ΣINIT = {|, ||, −, α, null} ， α ∈{k1, k2,…·, k5} ， gINIT 是绑定域函数，定义如下：
• ∀σ ∈ΣINIT, gINIT (σ, null) = gINIT (null, σ) = 0 ；
• ∀σ ∈ΣINIT \ {null}, gINIT (σ, σ) = 1 ；
• ∀σ, σ ′ ∈ΣINIT, if σ ̸= σ ′, then gINIT (σ, σ′) = 0 。系统热力学温度设置为 τINIT = 3 ，即只有当绑定域强度之和大于或等于 3 时，才能稳定集成到现有配置中。
• DNA 瓷砖 ：初始课程解空间系统 SINI 中使用的 DNA 瓷砖有 4 个绑定域， bdE 和 bdS 是信息输入边， bdW 和 bdN 是信息输出边。绑定域 | 表示没有安排课程，绑定域 bdS= | 和 bdN= α 的瓷砖是计算瓷砖，结果是在一个时间槽中安排课程 α 。种子配置 S ′ INIT 由灰色瓷砖组成， M 瓷砖用作时间槽之间的分隔符。

检测子系统

• DNA 自组装模型 ：设 ST INIT = <TT INIT, gT INIT, τ T INIT> 为检测系统的 DNA 自组装模型，其中 TT INIT 是为 ST INIT 设计的所有瓷砖集合，其绑定域集合为 ΣT INIT = {v, r, ∗, +, = , α, ||, |, #, null, 0} ， α ∈{k1, k2,…, k5} ， gT INIT 是绑定域函数，定义与 gINIT 类似。 τ T INIT 的值设置为与 SINIT 中的 τ INIT 相同。
• DNA 瓷砖 ：检测系统中的 DNA 瓷砖是具有四个绑定域的双交叉（DX）瓷砖，这里设计了具有 6 个绑定域的瓷砖用于标记学生或课程的状态。例如，绑定域 vxi 表示检测到的时间表对学生 xi 无冲突， ∗xi 表示学生 xi 在这个时间槽有课程， +xi 表示学生 xi 在前一个时间槽没有安排课程。绑定域 rα 表示未检测到课程 α ， = α 表示检测到课程 α 。

时间槽计数系统

• DNA 自组装模型 ：设 SCNT = <TCNT, gCNT, τ CNT> 为时间槽计数系统，其中 TCNT 是 SCNT 所需的所有瓷砖集合，其绑定域集合为 ΣCNT = {×, v, n, n′, α,|, ||, null, 0} ， n = {0, 1, …, 5} ， α = {k1, k2,…, k5} ， gCNT 是绑定域函数，定义如下：
• ∀σ ∈ΣCNT, gCNT (σ; null) = gCNT (null; σ) = 0 ；
• ∀σ ∈ΣCNT \ {null, n′}, gCNT (σ; σ) = 1 ；
• ∀σ, σ ′ ∈ΣCNT, if σ ̸= σ ′, then gCNT (σ, σ′) = 0 ；
• gCNT (n′, n′) = 4 。 τ T INIT 的值设置为与 SINIT 中的 τ INIT 相同。
• DNA 瓷砖 ：系统 SCNT 用于计算每个可能解的时间槽数量。如果一个时间槽没有安排课程，计数为 0，否则计数加 1。

以下是课程排课问题各子系统的关系流程图：

graph LR
    A[初始解空间生成系统 SINIT] --> B[检测系统 ST INIT]
    B --> C[时间槽计数系统 SCNT]

通过上述的自然数组生成算法和课程排课问题的 DNA 自组装计算模型，可以有效地解决相应的问题，并且在自然数组生成方面优化了之前的结果，在课程排课问题上利用 DNA 自组装的优势提供了一种新的解决方案。

自然数组生成与课程排课问题的计算模型（续）

自然数组生成算法的优势与意义

自然数组生成算法采用酶促数值 P 系统，在生成自然数的 n 元组方面具有显著优势。它改进了以往的结果，证明了具有一个膜的数值 P 系统，结合最多含 2 个变量的一次多项式的生产函数能够达到通用性。这一结果不仅优化了已知的生成 n 元组的方法，还为相关领域的研究提供了新的思路。

从算法的流程来看，它通过一系列精心设计的程序步骤，逐步完成变量的初始化、值的转移、多项式的计算以及结果的处理。每个步骤都有明确的目的和作用，确保了算法的准确性和高效性。例如，在处理多项式计算时，程序能够根据初始值的正负情况进行相应的处理，保证了计算结果的正确性。而在求和操作后，对结果的处理过程则巧妙地保证了最终输出的结果为正值，符合实际应用的需求。

课程排课问题 DNA 自组装计算模型的深入分析

各子系统的协同工作

课程排课问题的 DNA 自组装计算模型中，三个子系统相互协作，共同完成排课问题的求解。初始解空间生成系统 SINIT 为后续的计算提供了基础，它通过随机分配课程形成初始解空间，为后续筛选可行解提供了可能。检测系统 ST INIT 则根据学生的选课要求，对初始解空间进行筛选，排除不符合要求的解，形成候选解空间。时间槽计数系统 SCNT 则对候选解空间中的可行解进行时间槽的计数，以便找出使用时间槽最少的最优解。

这种子系统的划分方式使得整个计算模型具有良好的模块化结构，每个子系统都可以独立进行设计和优化。例如，在初始解空间生成系统中，可以通过调整瓷砖的绑定域和绑定强度，改变初始解空间的生成方式；在检测系统中，可以根据不同的选课要求设计不同的绑定域，以满足多样化的需求。

DNA 瓷砖的作用与设计

在整个 DNA 自组装计算模型中，DNA 瓷砖起到了关键的作用。不同子系统中的 DNA 瓷砖具有不同的绑定域和功能，通过它们的自组装过程，实现了排课问题的求解。

在初始解空间生成系统中，瓷砖的绑定域设计使得课程能够随机分配到不同的时间槽中。例如，绑定域 | 表示没有安排课程，而 bdS= | 和 bdN= α 的瓷砖则可以将课程 α 安排到时间槽中。这种设计方式使得初始解空间的生成具有一定的随机性，为后续筛选出最优解提供了更多的可能性。

检测系统中的 DNA 瓷砖则通过设计特殊的绑定域，如 vxi 、 ∗xi 、 +xi 、 rα 和 = α 等，来标记学生或课程的状态。这些绑定域的设计使得瓷砖能够根据学生的选课要求进行自组装，从而筛选出符合要求的可行解。

时间槽计数系统中的 DNA 瓷砖则根据时间槽中是否安排课程来进行计数。绑定域 α 、 | 和 || 分别表示课程安排、无课程安排和时间槽分隔符，通过这些绑定域的组合，实现了时间槽的准确计数。

模型的复杂度分析

该 DNA 自组装计算模型使用 $O(n^2)$ 个瓷砖来解决课程排课问题。这种复杂度相对较低，表明该模型在处理大规模排课问题时具有一定的优势。与传统的算法相比，DNA 自组装计算模型利用了 DNA 分子的自组装特性，能够在分子层面上进行并行计算，从而提高了计算效率。

总结与展望

综上所述，自然数组生成算法和课程排课问题的 DNA 自组装计算模型都具有各自的特点和优势。自然数组生成算法在生成 n 元组方面优化了已知结果，为相关领域的研究提供了新的方法；课程排课问题的 DNA 自组装计算模型则利用 DNA 自组装的优势，为解决高度受限的组合问题提供了一种新的思路。

然而，仍然存在一些问题值得进一步探讨。例如，在自然数组生成算法中，是否可以进一步降低系统中使用的程序数量，同时不增加其他指标，以提高算法的效率。在课程排课问题的 DNA 自组装计算模型中，是否可以将这种方法推广到其他类型的数值 P 系统，如带阈值的数值 P 系统、带迁移变量的数值 P 系统等，以实现更广泛的应用。

以下是自然数组生成算法和课程排课问题计算模型的对比表格：
| 项目 | 自然数组生成算法 | 课程排课问题计算模型 |
| ---- | ---- | ---- |
| 核心方法 | 酶促数值 P 系统 | DNA 自组装 |
| 解决问题 | 生成自然数的 n 元组 | 课程排课问题 |
| 优势 | 优化已知结果，达到通用性 | 利用 DNA 自组装优势，复杂度低 |
| 待解决问题 | 降低程序数量 | 推广到其他数值 P 系统 |

graph LR
    A[自然数组生成算法] --> C[优化与拓展]
    B[课程排课问题计算模型] --> C[优化与拓展]
    C --> D[解决更多实际问题]

通过不断的研究和改进，相信这些计算模型将在更多的领域得到应用，为解决复杂的问题提供更有效的方法。