二值形态学知识点总结

1. 腐蚀 Erosion

$A\circleddash B= \{z|(B)_z\subseteq A \}$
$B$移动$z$单位($B$的中心在$z$)后, 仍然包含在$A$中. 那么$z$的集合就是$B$对$A$的腐蚀.
等效于$(B)_z$和$A$的补集(completement)没有交集:
$A\circleddash B= \{z|(B)_z \bigcap A^c =\varnothing \}$
腐蚀操作会将较$B$小的部分滤除.

2. 膨胀 Dilation

$A\bigoplus B= \{z|(\hat{B})_z \bigcap A \neq \varnothing \}$
$B$的镜像原点在$z$, 和$A$至少有一点的交集.
膨胀操作可以补gap.
膨胀操作和腐蚀互为对偶关系.

3. 开运算 Opening

$A \circ B=(A\circleddash B)\bigoplus B$
先腐蚀再膨胀, 可以滤除凸起, 断开狭小的连接线.
等效于$B$在A内部紧靠A边缘移动, B的轨迹就是开运算结果.
也就是所有在A内部的$B$的并集.

4. 闭运算 Closing

$A \cdot B=(A\bigoplus B)\circleddash B$
先膨胀再腐蚀, 可以连接独立的部分, 填充空洞.
等效于B在A的外部紧靠A边缘移动, 所有包含w的B_z和A交集不为空的点w组成的集合就是闭运算结果.

5. Hit-or-Miss

$A\circledast B=(A\circleddash D)\bigcap[A^c\circleddash (W-D) ]$
B表示包含目标D及其背景的集合.
只有当结构元素B与其覆盖的图像区域完全一致时, 才将结果置为1, 否则均为0.

6. 边界提取 Boundary Extraction

$\beta(A)=A-(A\circleddash B)$
原图减去原图的腐蚀.

7. 填充空洞 Hole Filling

$X_k=(X_{k-1}\bigoplus B)\bigcap A^c ,k=1,2,3,...$
迭代算法, $X_0$是全0图像, 在空洞处某点为1. 此点位置需要用户预先指定.

8. 提取连接 Extraction of Connected Components

$X_k=(X_{k-1}\bigoplus B)\bigcap A ,k=1,2,3,...$
迭代算法, $X_0$是全0图像, 在连接处某点为1. 此点位置需要用户预先指定.

9. 凸包 Convex Hull

凸包是集合的最小凸集.
$X_k^i=(X_{k-1}\circledast B^i)\bigcup A , i=1,2,3,4, \ k=1,2,3,...$
其中$X_0^i=A$. $B_i$表示4个不同的结构元素集合.
当以上迭代收敛后, 令$D^i=X_k^i$, A的凸包为:
$C(A)=\bigcup_{i=1}^4( D^i)$

10. 细化 Thinning

$A\bigotimes B=A-(A\circledast B )=A\bigcap(A\circledast B)^c$
原图减去Hit-or-miss.
可以使用一系列的B做细化.

11. 粗化 Thickening

$A\bigodot B=A\bigcup (A\circledast B)$
原图和 Hit-or-Miss 的并集.
可以使用一系列的B做粗化.

12. 骨架化 Skeletons

$S(A)=\bigcup_{k=0}^KS_k(A)$
其中, $S_k(A)=(A\circleddash kB)-(A\circleddash kB)\circ B$
$(A\circleddash kB)$表示A做k次腐蚀.
$K$是腐蚀A成非空集的最大腐蚀次数.
骨架化的结果未必是连通的.

13. 剪枝 Pruning

1. 细化, 减掉较短的分支.
2. Hit-or-Miss, 检测留下分支的端点.
3. 提取连接, 让端点在原图的限制下伸展若干次.
4. 1和3的结果求并集.

14. 形态学重建 Morphological Reconstruction

a．测地膨胀 Geodesic dilation

令二值图F是marker, G是mask. 且$F\subseteq G$. size为1的测地膨胀:
$D_G^{(1)}(F)=(F\bigoplus B)\bigcap G$
且
$D_G^{(n)}(F)=D_G^{(1)}[D_G^{(n-1)}(F)]$
其中, $D_G^{(0)}(F)=F$

b. 测地腐蚀 Geodesic Erosion

$E_G^{(1)}(F)=(F\circleddash B)\bigcup G$
且
$E_G^{(n)}(F)=E_G^{(1)}[E_G^{(n-1)}(F)]$
其中, $E_G^{(0)}(F)=F$

c. 膨胀形态学重建 Morphological reconstruction by dilation

$R_G^D(F)=D_G^{(k)}(F)$
$D_G^{(k)}(F)$是测地膨胀的收敛结果.

d. 腐蚀形态学重建 Morphological reconstruction by erosion

$R_G^E(F)=E_G^{(k)}(F)$
$E_G^{(k)}(F)$是测地腐蚀的收敛结果.

e. 重建开运算 Opening by reconstruction

$O_R^{(n)}(F)=R_F^D[(F\circleddash nB)]$
F腐蚀n次后再膨胀重建到收敛, 用F做限制
可以完整重现腐蚀后的对象. 比简单开运算优越.

f. 重建闭运算 Closing by reconstruction

$C_R^{(n)}(F)=R_F^E[(F\bigoplus nB)]$
F膨胀n次后再腐蚀重建到收敛, 用F做限制.
可以完整重现膨胀后的对象. 比简单闭运算优越.

g. 自动填洞

定义:
$F(x,y)= \begin{cases} 1-I(x,y) & \text{(x,y)在I的边界上}\\ 0 & \text{ 其他}\\ \end{cases}$
有:
$H=[R_{I^c}^D(F)]^c$
不需要指定洞的某一点.

h. 清理边界 Border Clearing

定义:
$F(x,y)= \begin{cases} I(x,y) & \text{(x,y)在I的边界上}\\ 0 & \text{ 其他}\\ \end{cases}$
有:
$X=I-R_{I}^D(F)$
此运算可以清理和边缘相连接的对象. 适合文字识别等前处理工作.

15. 总结表格

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之前内容

参考Gonzalez《数字图像处理》第三版