并查集(持续更新)

1:hdu 1856  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1856

离散化+并查集

主要讲讲离散化吧,输入的属性当下标做索引,数据太大,无法开数组,于是我们先将其保存下来。

      1:对于给定的一组数据a,我们复制一份b。

      2:对a进行排序后去除重复元素(可以自己写,也就3行代码,或者stl中的使用unique函数)

          3:对于b中的每一个元素,用lower_bound找到它在a中的位置,也就是离散化之后的编号

具体代码:http://blog.youkuaiyun.com/robotcator/article/details/22994683


2:poj 1182  http://poj.org/problem?id=1182

带权并查集

 经典并查集,要好好理解。我也是从这题开始学习并查集的。这里要注意a吃b,b吃c,那么c一定吃a.还有就是如何进行路径压缩。这次代码写的很丑,就不贴出来丢人了

<think>好的,我现在需要给用户介绍可持续并查集。首先,我得回忆一下并查集的基本概念。并查集是一种数据结构,用于处理不相交集合的合并与查询问题。它支持两种操作:查找(找到元素所在的集合)和合并(将两个集合合并为一个)。通常,并查集通过路径压缩和按秩合并来优化效率。 接下来是可持续化的概念。可持续化数据结构,或者叫持久化数据结构,指的是能够保留历史版本的数据结构。每次修改操作后,都会生成一个新版本,同时保留旧版本。这样,用户可以在任何旧版本上进行查询或修改。常见的例子有持久化线段树、持久化Trie等。 那么,可持续并查集就是将并查集改造成支持版本控制的结构。也就是说,每次合并操作后,可以回溯到之前的某个状态,或者基于某个历史版本进行新的合并操作。不过,并查集本身的特性使得其持久化实现比较困难,因为传统的路径压缩和按秩合并会直接修改父节点数组,破坏历史版本。 我需要考虑如何实现可持续并查集。常规的并查集使用数组来记录每个节点的父节点,以及按秩合并所需的秩数组。对于持久化,每次合并操作不能直接修改原数组,而是需要创建新的副本。但这样空间复杂度会很高,尤其是当操作次数多的时候。比如,每次合并都复制整个数组,空间复杂度会是O(n*m),其中n是元素个数,m是操作次数,这显然不可行。 因此,可能需要使用其他方法,比如使用持久化数组的数据结构。持久化数组可以通过二叉树结构(如完全二叉树)来记录每次修改,这样每次修改只需要O(log n)的空间。或者,采用路径复制的方法,但仅复制被修改的部分,而不是整个数组。这可能涉及到函数式数据结构的技术,每次修改创建新节点,共享未修改的部分。 另一种思路是使用版本历史树,将每个操作作为树的一个节点,每个版本记录父节点数组的状态。但这样可能需要大量的存储空间,特别是每次合并操作可能影响多个节点。需要更高效的方式来记录父节点的变化。 然后,我需要考虑并查集的两个优化——路径压缩和按秩合并是否可以在持久化版本中应用。路径压缩在查找过程中会修改父节点指针,这会导致每次查找操作都可能改变数据结构,不利于持久化。因此,在可持续并查集中,可能需要放弃路径压缩,只使用按秩合并,或者找到一种方法记录这些路径的变化而不破坏旧版本。 例如,如果不使用路径压缩,那么每次合并操作只影响两个树的根节点,这样在持久化时,只需记录根节点的父指针变化。但查找操作的时间复杂度会增加,可能退化为O(log n)或更高。或者,可以结合部分路径压缩,但需要记录每次路径修改的历史,这会增加实现的复杂度。 另外,可以考虑使用版本控制的方法,每个版本保存父数组的一个快照,但这在空间上仍然不高效。因此,可能需要更智能的持久化结构,比如使用链表结构或树结构来记录每个节点的父指针变化历史。例如,每个节点的父指针可以是一个链表,每个版本对应链表中的一个节点,这样查询某个版本的父指针时,可以沿着链表找到对应的版本信息。 此外,还可以参考持久化线段树的实现方式,使用节点复用,即每次修改只创建新的节点路径,而共享未修改的部分。应用到并查集的话,可能每个节点的父指针在不同版本中有不同的值,通过指针指向不同版本来实现。 不过,这样的实现可能会比较复杂,尤其是在处理查找操作时,需要递归查找不同版本中的父节点,可能影响时间效率。需要权衡时间和空间复杂度。 总结来说,可持续并查集的关键点在于如何高效地记录每次操作后的状态变化,同时保持较低的时间和空间复杂度。可能需要结合持久化数组的技术,放弃路径压缩或者调整其实现方式,以确保每次操作生成的新版本不会覆盖旧数据,同时允许高效查询历史状态。 接下来,我需要将这些思路整理成一个结构清晰的回答,分步骤介绍可持续并查集的概念、挑战、实现方法以及应用场景,同时注意使用正确的中文术语和LaTeX格式的数学表达式。</think>### 可持续并查集分步解析 #### 1. **基础概念回顾** **并查集**(Union-Find)是一种用于管理元素分组的数据结构,支持两种核心操作: - **查找(Find)**:确定元素所属集合(通常通过根节点标识)。 - **合并(Union)**:将两个集合合并为一个。 优化手段通常包括: - **路径压缩**(Find时扁平化树结构):例如 $find(x)$ 时将 $x$ 的父节点直接指向根。 - **按秩合并**(Union时避免树过高):将较小树合并到较大树的根下。 #### 2. **可持续化需求** **可持续化(持久化)**要求数据结构支持: - **保留历史版本**:每次修改生成新版本,旧版本仍可访问。 - **高效时空开销**:避免直接复制全量数据,需采用增量记录策略。 #### 3. **实现挑战** 传统并查集的优化策略与可持续化存在冲突: - **路径压缩**会修改父节点指针,破坏历史状态。 - **直接复制父节点数组**的空间复杂度为 $O(n \cdot m)$($n$ 为元素数,$m$ 为操作数),不可行。 #### 4. **实现方法** ##### 方法1:放弃路径压缩,仅用按秩合并 - **操作记录**:每次合并时记录根节点变化。 - **版本管理**:为每个版本保存根节点的父指针和秩。 - **查找操作**:沿父指针逐层回溯,时间复杂度为 $O(\log n)$。 - **示例**: ```plaintext 版本0: 父数组 = [0,1,2,3], 秩 = [1,1,1,1] 版本1: Union(0,1) → 父数组 = [0,0,2,3], 秩 = [2,1,1,1] 版本2: Union(0,2) → 父数组 = [0,0,0,3], 秩 = [3,1,1,1] ``` ##### 方法2:持久化数组技术 - **树形结构存储**:将父数组的修改记录为树形结构,共享未修改部分。 - **函数式编程思想**:每次修改生成新节点,如持久化线段树。 - **查找操作**:沿版本树回溯,时间复杂度 $O(\log n)$。 ##### 方法3:部分路径压缩的折中方案 - **受限路径压缩**:仅压缩特定层数,记录修改历史。 - **版本分支**:通过分支记录不同压缩路径,但实现复杂度高。 #### 5. **时间复杂度对比** | 方法 | Find | Union | 空间复杂度 | |----------------------|------------|------------|----------------| | 传统并查集 | 近$O(1)$ | 近$O(1)$ | $O(n)$ | | 无路径压缩可持续化 | $O(\log n)$| $O(\log n)$| $O(m \log n)$ | | 持久化数组实现 | $O(\log n)$| $O(\log n)$| $O(m \log n)$ | #### 6. **应用场景** - **时间线回滚**:如社交网络动态关系分析,需查询历史连通性。 - **离线算法**:处理包含多个版本连接的批量查询。 - **版本控制系统**:模拟分支合并的历史状态。 #### 7. **代码示例(伪代码)** ```python class PersistentUnionFind: def __init__(self, n): self.versions = [] # 各版本的父数组快照 self.ranks = [] # 各版本的秩数组快照 initial_parent = list(range(n)) initial_rank = [1] * n self.versions.append(initial_parent) self.ranks.append(initial_rank.copy()) def find(self, x, version): # 在指定版本中查找根(无路径压缩) parent = self.versions[version] while parent[x] != x: x = parent[x] return x def union(self, a, b, current_version): new_parent = self.versions[current_version].copy() new_rank = self.ranks[current_version].copy() root_a = self.find(a, current_version) root_b = self.find(b, current_version) if root_a == root_b: return current_version # 无需合并 # 按秩合并 if new_rank[root_a] < new_rank[root_b]: new_parent[root_a] = root_b else: new_parent[root_b] = root_a if new_rank[root_a] == new_rank[root_b]: new_rank[root_a] += 1 self.versions.append(new_parent) self.ranks.append(new_rank) return len(self.versions) - 1 # 返回新版本号 ``` #### 8. **总结** 可持续并查集通过牺牲部分时间效率(如放弃路径压缩)或引入复杂结构(如持久化数组),实现了对历史版本的高效管理。其核心在于**增量记录修改**和**复用未变数据**,适用于需要多版本回溯的场景。
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