LeetCode hot 100—最小路径和

题目

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

分析

动态规划

思路分析

状态定义：设 dp[i][j] 表示从左上角 (0, 0) 到达位置 (i, j) 的最小路径和。

初始状态：

• dp[0][0] 就是 grid[0][0]，因为起点的最小路径和就是该点的值。
• 对于第一行的位置 (0, j)，由于只能从左边到达，所以 dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]。
• 对于第一列的位置 (i, 0)，由于只能从上边到达，所以 dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]。

状态转移方程：对于其他位置 (i, j)，可以从上方 (i - 1, j) 或者左方 (i, j - 1) 到达，所以 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]。

最终结果：dp[m - 1][n - 1] 即为从左上角到右下角的最小路径和。

时间复杂度：O()

空间复杂度：O()

class Solution {
public:
    int minPathSum(std::vector<std::vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size();
        if (m == 0) return 0;
        int n = grid[0].size();
        std::vector<std::vector<int>> dp(m, std::vector<int>(n, 0));
        // 初始化起点
        dp[0][0] = grid[0][0];
        // 初始化第一行
        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 初始化第一列
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        // 填充 dp 数组
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = std::min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};