阶乘的两个问题

有关阶乘的两个问题

一、求N!末尾0的个数

• 概述
  给定一个整数N，那么N的阶乘N!末尾有多少个0呢？例如N = 10，N! = 3628800，N!的末尾有两个0
• 思路
  对N!进行质因数分解，N! = 2^x + 3^y + 5^z…，由于10 = 2 * 5，所以末尾0的个数M = min(x,z)。同时，易得x > z ，所以M = z。如下给出两个方法
• 方法1
  最直接的方法，计算从1到N的因式分解中的5的个数，然后求和，效率为O(N*lnN)，代码如下

int countZeroVersion1(int input)
{
    int count = 0;
    int j;
    for (int i = 1; i <= input; i++)
    {
        j = i;
        while(j % 5 == 0)
        {
            count ++;
            j /= 5;
        }
    }
    return count;
}

• 方法2
  公式：Z = [N/5] + [N/5^2] + [N/5^3] + …公式中[N/5]表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，[N/5^2]表示不大于N的数中5^2在贡献一个5,如25 = 5 * 5,以此类推，时间效率为O(lnN)，代码如下

int countZeroVersion2(int input)
{
    int count = 0;
    while (input)
    {
        count += input / 5;
        input /= 5;
    }
    return count;
}

• 时间对比
  

二、求N!的二进制表示中最低位1的位置。

• 概述
  例如给定N = 3, N! = 6，那么N!的二进制表示(1010)的最低位1在第二位。
• 思路
  判断最后一个1出现在哪个位置相当于判断有多少个2作为因数相乘起来，因为每有一个2,二进制表示的时候最后就有一个0，同问题1中的解法2,这里就不给出代码了，把方法中的5改成2就行，或者用位运算。时间复杂度是O(lnN)