充分统计量

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#统计学 #数学

本文深入探讨了充分统计量的概念及其在统计学中的应用，提供了易于理解的解释和实例，帮助读者掌握这一核心统计原理。
richard2357
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数理统计复习：统计量及其分布（3）充分统计量
qq_45552117的博客
12-06 3047
文章目录前言五、充分统计量1.定义 前言 本章讲解统计量及其分布的最后一部分：充分统计量 五、充分统计量 1.定义 设x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1​,x2​,⋯,xn​是来自某个总体的样本，总体分布函数为F(x;θ),F(x;\theta),F(x;θ),统计量T=T(x1,x2,⋯ ,xn)T=T(x_1,x_2,\cdots,x_n)T=T(x1​,x2​,⋯,xn​)称为 θ\thetaθ 的充分统计量,如果在给定 TTT 的取值后， x1,x2,⋯ ,xn
【数理统计】05. 充分统计量、点估计及其评价准则
04-14 3134
本文主要介绍了充分统计量的定义，以及如何利用因子分解定理判别充分统计量，文章的最后我们开始进入点估计及其评价准则相关内容的讨论。
高等数理统计_高等数理统计—第二章 充分统计量、完备性、样本信息
weixin_39625975的博客
11-20 2745
欢迎指正。第二章 充分统计量、完备性、样本信息2.1 统计量统计量是样本的函数，从本质上说，统计量也是一个随机变量，因此有统计量的分布。但是当样本 的值取定后，统计量便不再是随机变量了。通俗地讲，统计量 是对样本 的一个“加工”或压缩。既然是用压缩以后的统计量 来推断总体，与原样本来推断总体总体，效果是否一样？是否会损失有用的信息？如果效果一样，没有损失信息，我们就称该统计量为充分统计量。...
精选资源
第1.2节 充分统计量与完备统计量.PPT
08-15
数理统计学中，充分统计量是一个至关重要的概念，它涉及到如何从样本数据中提取出对总体参数最全面的信息。第1.2节的主题“充分统计量与完备统计量”探讨了这一核心议题。 首先，充分统计量的概念由英国统计学家R.A...
机器学习笔记之指数族分布——充分统计量与模型参数的关系
静静的学习就好
08-14 2044
在指数族分布介绍中提到了充分统计量这个概念，并且介绍了如果一个指数族分布已知充分统计量，就可以基于该统计量得到完整的概率分布表达形式。本节将从概率密度积分和极大似然估计的角度介绍 如何通过充分统计量求解概率分布中的模型参数。...
（本科·数理统计·含例题解析）充分统计量及因子分解定理——最具有代表性的样本统计量
最新发布
Lean的博客
03-25 1278
能充分反映母体参数特征的统计量！知识点全面，例题详细！
充分统计量和因子分解定理
huhubbdd的博客
05-29 3089
无
完全充分统计量
Costwen的博客
05-16 6239
充分统计量 统计量是对样本的加工和压缩,在这个过程之中有可能损失一部分参数的信息。 如果压缩了样本而且没有损失样本的信息,这样的统计量称为充分统计量 充分统计量定义 给定条件T(X)=tT(X)=tT(X)=t的条件下,X的条件分布和参数θ\thetaθ无关,称统计量T(x)T(x)T(x)是参数θ\thetaθ的充分统计量 因子分解定理 设统计模型为{Pθ,θ∈Θ}\{P_\theta,\theta\in \Theta\}{Pθ​,θ∈Θ},统计量T(X)T(X)T(X)是充分的,当且仅当p(x,θ)=g
充分统计量(Sufficient Statistics)
weixin_30411997的博客
10-29 542
一个随机变量的分布，可以取决于一些参数的值。而充分统计量，则能够完全捕捉这些参数所包含的关于分布的信息。也就是说，如果知道充分统计量的值，那么这个随机变量关于它的条件分布，不再取决于原来参数的值。网上找到的定义如下： In statistics, a statistic is sufficient for the parameter θ, which indexes the distributi...
关于机器学习的充分统计量
weixin_34378969的博客
05-22 418
关于机器学习的充分统计量           【Reference】 1、https://blog.youkuaiyun.com/lancelot_vim/article/details/51371651 
数理统计复习笔记二——充分统计量
TSzero的博客
07-13 9060
一、背景 统计量的引入是为了简化样本的繁杂，但所使用的统计量是否把样本中关于感兴趣问题的信息全部吸收进来了？这就引出充分统计量的概念。它是Fisher正式提出的，其思想源于他和Eddington关于估计标准差的争论。 二、定义 对于某分布族F={Fθ(x):θ∈Θ}\mathcal F=\{F_\theta(x):\theta\in\Theta\}F={Fθ​(x):θ∈Θ}，∀F∈F\forall F\in\mathcal F∀F∈F，设X1,⋯ ,XnX_1, \cdots, X_nX1​,⋯,Xn​
概率论与数理统计教程(五)-统计量及其分布05：充分统计量
u013250861的博客
02-10 1070
§5.5 充分统计量 5.5.1 充分性的概念 构造统计量就是对样本进行加工, 去粗取精, 简化样本, 便于统计推断. 但在加工 过程中是否会丢失样本中关于感兴趣问题的信息? 如果某个统计量包含了样本中关于感兴趣问题的所有信息,则这个统计量对将来的统计推断会非常有用,这就是充分统计量的直观含义, 它是费希尔于 1922 年正式提出的, 而其思想则源于他与天文学家埃丁顿 (Eddington) 的有关估计标准差的争论中. 设 x1,x2,⋯ ,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}x1​,
贝叶斯中的充分统计量
HEHEE1029的博客
10-28 824
充分统计量的贝叶斯定义
充分统计(sufficient statistic) 理解
KAMITA的博客
06-08 8206
统计量是数据的函数。函数就是一种「浓缩」讯息的动作。因此, 统计量中所包含的讯息, 通常比整个样本数据所包含的来得少.例如样本的顺序统计量只包含了有哪些值出现, 而不同值出现的顺序这样的讯息不见了。 但统计量比样本原数据少掉的讯息可能是无关紧要的 --- 和我们要了解的群体特性不相干, 如上述数据出现顺序在很多时候和我们关心的群体特性无关。统计量所包含关于群体特性的讯息不比原样本数据少, 就
正态分布充分统计量
03-13
### 正态分布的充分统计量 #### 定义 在统计学中，充分统计量是指能够完全概括数据集中有关未知参数的信息的一个或多个统计量。对于正态分布 \( N(\mu, \sigma^2) \)，其概率密度函数为： \[ f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \] 其中，\( \mu \) 是均值，\( \sigma^2 \) 是方差。假设我们有一组样本 \( X_1, X_2, ..., X_n \) 来自该正态分布，则联合概率密度函数可以写成依赖于某些特定统计量的形式。 根据因子分解定理 (Factorization Theorem)[^4]，如果联合概率密度函数能被表示为两部分乘积形式——一部分仅依赖于某个统计量 \( T(X) \) 和参数 \( \theta \)，另一部分只与观测值本身相关而无关参数 \( \theta \)，那么 \( T(X) \) 就是一个充分统计量。 对于正态分布而言，当已知总体方差 \( \sigma^2 \) 或者两者都未知的情况下，分别有不同的充分统计量表达方式。 #### 当总体方差 σ² 已知时 此时，只有均值 μ 需要估计。通过观察单个随机变量的概率密度函数可以看出，所有样本平均数 \( \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i } { n }\) 能够提供关于 μ 的全部信息。因此，在这种情况下，样本均值 \( \bar{X} \) 即为充分统计量[^5]。 #### 当总体均值 μ 和方差 σ² 均未知时 在这种情形下，我们需要同时考虑两个参数 μ 和 σ² 。经过分析发现，样本均值 \( \bar{X} \) 及未修正样本方差 \( S'^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}{n} \) 组合起来构成了一个二维充分统计量向量 \( (\bar{X}, S'^2) \)[^6]。 #### 性质解释 - **最小性**: 如果存在另一个充分统计量 Y ，使得当前讨论的充分统计量可以通过某种函数关系映射到它上面去，则后者被称为前者的小型化版本或者极小充分统计量(minimal sufficient statistic)。上述提到的各种情况下的充分统计量实际上都是各自场景中的极小充分统计量。 - **完备性(completeness)**: 若某充分统计量满足一定条件使其成为完备统计量，则基于此构建无偏估计具有唯一最优解特性(Fisher–Neyman factorization theorem combined with Lehmann-Scheffé theorem)[^7]。 ```python import numpy as np def sample_mean_variance(data): """ 计算给定数据集的样本均值和未修正样本方差 参数: data : list or array-like object containing numeric values 返回: tuple of two elements representing the sample mean and uncorrected variance respectively. """ n = len(data) if n == 0: raise ValueError("Data cannot be empty.") sum_x = sum(data) squared_sum_x = sum([xi**2 for xi in data]) sample_mean = sum_x / n unc_var = (squared_sum_x/n)-(sample_mean**2) return sample_mean, unc_var # Example usage data_points = [3., 4., 5., 6., 7.] mean_val, var_val = sample_mean_variance(data_points) print(f"Sample Mean: {mean_val}") print(f"Uncorrected Sample Variance: {var_val}") ```
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